Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 14.8 - Ex. 35

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desse livro

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 45

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

Vamos colocar os números tipo x ,   y   e   z .

A gente quer que o produto:

f x , y , z = x y z

Seja máximo, desde que x + y + z = 100 .

Ou seja, nós queremos o máximo da função f com a restrição de g x , y , z = x + y + z = 100 .

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

y z , x z , x y = λ 1,1 , 1

y z = λ

x z = λ

x y = λ

Como o produto tem que ser máximo, não podemos considerar nenhuma das letras x ,   y ,   z como zero. Então, temos:

y z = x z

x = y

x z = x y

z = y

Ou seja, x = y = z .

Passo 3

Jogamos na restrição agora...

x + y + z = 100

x + x + x = 100

3 x = 100

x = 100 3 = y = z

Os três números então são x = y = z = 100 3 .

Resposta

x = y = z = 100 3

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