Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y = y 2 - x 2 ;                 1 4 x 2 + y 2 = 1

Passo 1

A questão pede para acharmos os extremos da função f sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!

A restrição pode ser escrita como

g x , y = 1 4 x 2 + y 2 - 1 = 0

Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação

∇ f = λ   ∇ g

Tomando os gradientes:

∇ f = ( - 2 x ,   2 y )

∇ g = ( x 2 ,   2 y )

Assim, devemos resolver a equação

- 2 x ,   2 y = λ   x 2 ,   2 y

Desta forma,

- 2 x = x λ 2 2 y = 2 λ y

Passo 2

É preciso muito cuidado para resolver esse sistema!

x λ = - 4 x y λ = y ⇒ x λ + 4 = 0 y λ - 1 = 0

Note também que a solução x = y = 0 não é válida pois não satisfaz a restrição

1 4 x 2 + y 2 = 1

Se tomarmos x = 0 na primeira equação, então y ≠ 0 na segunda, de modo que λ = 1 . Na equação da restrição:

0 + y 2 = 1 ⇒ y = ± 1

Já temos dois pontos! Fazendo y = 0 na segunda equação, temos que x ≠ 0 , de modo que λ = - 4 . Na equação da restrição:

x 2 4 + 0 = 1 ⇒ x = ± 2

Assim, os candidatos a extremos são:

0 ,   ± 1         e           ( ± 2 ,   0 )

Passo 3

Analisando o valor da função nesses pontos:

f 0 ,   ± 1 = 1

f ± 2 ,   0 = - 4

Assim, 0 ,   ± 1 são pontos de máximo e ± 2 ,   0 são de mínimo!

Resposta

f ± 2 ,   0 = - 4     →         m í n i m o

f 0 ,   ± 1 = 1       →         m á x i m o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m³ de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas
Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:60) z = x y ;2 x 2 + y 2 = 1 6
Encontre o máximo e mínimo de f x , y = x + y 2 na região D = x , y ∈ R 2 ,x - 2 2 + y 2 ≤ 1
2. Um disco plano tem a forma da região do plano xy definida por x 2 + y 2 ≤ 1 Aquece-se o disco (inclusive a fronteira, onde x 2 + y 2 = 1 ) de modo que a temperatura em cada ponto é dada por T x , y
3. Calcule a menor distancia do ponto (0,2) à curva de equação y = x 2 - 4