Enunciado

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x ln ⁡ ( 1 + 2 x )

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

ln ⁡ ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - … + - 1 n - 1 x n n   + …

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n

Passo 2

Podemos então enxergar a função da série do enunciado como:

x ln ⁡ ( 1 + 2 x ) = x ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 2 x n n  

O que equivale a dizer que:

x ln ⁡ ( 1 + 2 x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 2 n x n + 1 n  

Passo 3

Podemos então escrever os termos da série do enunciado como sendo:

Temos então que:

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 2 n x n + 1 n   = 2 x 2 - 2 2 x 3 2 + 2 3 x 4 4 - 2 4 x 5 5 + …

Resposta

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 2 n x n + 1 n   = 2 x 2 - 2 2 x 3 2 + 2 3 x 4 4 - 2 4 x 5 5 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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