Enunciado

Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 11-28.

x   t g - 1 x 2

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Séries de Taylor!

O que vamos fazer aqui é usar uma série já conhecida de Taylor para definir a função dessa série, e depois adequar para a série que é trazida no enunciado.

A série que conhecemos que é passível de usarmos nesse caso é a seguinte:

t g - 1 x = x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + … + …  

Conhecendo esses termos acima, sabemos que a função dessa série conhecida é a seguinte

t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Podemos então adaptar os termos da série do enunciado para o que a gente conhece, assim:

x   t g - 1 x 2 = x ( x 2 - 1 3 x 2 3 + 1 5 ( x 2 ) 5 - 1 7 x 2 7 + … )

Simplificando matematicamente, podemos dizer que:

x   t g - 1 x 2 = x 3 - 1 3 x 7 + 1 5 x 11 + 1 7 x 15 + …

Passo 3

Podemos assim escrever a função da nossa série:

x   t g - 1 x 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 4 n - 1 2 n - 1

Temos então que:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x 4 n - 1 2 n - 1 = x 3 - 1 3 x 7 + 1 5 x 11 + 1 7 x 15 + …

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n x 4 n - 1 2 n - 1 = x 3 - 1 3 x 7 + 1 5 x 11 + 1 7 x 15 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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