Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n (n)/(n^2 + 2)

Passo 1

Bom, nosso primeiro passo consiste em identificar o tipo de série com a qual estamos lidando. Nesse caso, estamos diante de uma Série Alternada:

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n (n)/(n^2 + 2) = sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^n b_n

Em que identificamos o nosso b_n como sendo (n)/(n^2 + 2) .

Passo 2

Antes de aplicarmos logo o “Teste da série alternada”, vamos só confirmar se o nosso termo da série é monotonamente decrescente , ou seja :

|a_n + 1| < |a_n|

E nesse caso isso acontece , como o grau do denominador é maior que o grau do numerador , a medida que o valor de n aumenta , o módulo da série diminui.

Passo 3

Show de bola! Aplicando o “Teste da Série Alternada”, temos que:

underset(n -> oo)(lim) b_n = underset(n -> oo)(lim) (n)/(n^2 + 2) = 0

Opa! Como o nosso limite ali acima deu 0 , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!

Resposta

underset(n -> oo)(lim) (n)/(n^2 + 2) é convergente

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