Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n n

Passo 1

A série alternada da forma

a n = - 1 n b n

Ou

a n = - 1 n + 1 b n

Onde b n ≥ 0 .

Converge se obedecer o teste da série alternada que tem duas condições

  1. b n + 1 < b n para todo n
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Passo 2

Agora vamos ver se a série obedece as duas regras do teste da série alternada para a serie com

b n = ln ⁡ n n

Para a primeira regra b n + 1 < b n , neste caso temos que

ln ⁡ ( n + 1 ) n + 1 < ln ⁡ n n

A taxa de variação do denominador é constante e igual a 1 , já a do numerador é inversamente proporcional a n , para descobrir isso basta calcular a derivada. Então para valores de n > 1 , temos que a taxa de variação do denominador é maior que do numerador, logo a comparação é verdadeira.

Passo 3

Para a segunda regra, basta calcular o limite de b n

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n

Aplicando L’Hospital

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 = 0

Como a série obedece as regras do teste da série alternada, ela é convergente.

Resposta

Converge.

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