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Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

r t = t 2 i + t k

Passo 1

O primeiro passo é obter a derivada da curva dada. Temos:

r ' t = ( 2 t ,   0 ,   1 )

A segunda derivada também precisa ser calculada:

r ' ' t = ( 2 ,   0 ,   0 )

Passo 2

Como a primeira e a segunda derivas já foram calculadas, podemos agora calcular o produto vetorial delas:

r ' t × r ' ' t = i j k 2 t 0 1 2 0 0

r ' t × r ' ' t = ( 0 ,   2 ,   0 )

Passo 3

O módulo do vetor tangente r ' ( t ) é:

r ' t = 2 t 2 + 0 + 1

r ' t = 4 t 2 + 1

Já o módulo do produto vetorial calculado no Passo 2, é:

r ' t × r ' ' t = 0 + 2 2 + 0

r ' t × r ' ' t = 2

Passo 4

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k t = r ' t × r ' ' t r ' t 3

k t = 2 4 t 2 + 1 3

k t = 2 4 t 2 + 1 3 / 2

Resposta

k t = 2 4 t 2 + 1 3 / 2

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