Enunciado

Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

r (t) = t^2 i + t k

Passo 1

O primeiro passo é obter a derivada da curva dada. Temos:

r^' (t) = ( 2 t , 0 , 1 )

A segunda derivada também precisa ser calculada:

r^(' ') (t) = ( 2 , 0 , 0 )

Passo 2

Como a primeira e a segunda derivas já foram calculadas, podemos agora calcular o produto vetorial delas:

r^' (t) xx r^(' ') (t) = [[[i,j,k],[2,t,0,1],[2,0,0]]]

r^' (t) xx r^(' ') (t) = ( 0 , 2 , 0 )

Passo 3

O módulo do vetor tangente r ' ( t ) é:

|r^' (t)| = sqrt((2 t)^2 + 0 + 1)

|r^' (t)| = sqrt(4 t^2 + 1)

Já o módulo do produto vetorial calculado no Passo 2, é:

|r^' (t) xx r^(' ') (t)| = sqrt(0 + 2^2 + 0)

r^' (t) xx r^(' ') (t) = 2

Passo 4

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k (t) = (|r^' (t) xx r^(' ') (t)|)/(|r^' (t)|^3)

k (t) = (2)/((sqrt(4 t^2 + 1))^3)

k (t) = (2)/((4 t^2 + 1)^(3 // 2))

Resposta

k (t) = (2)/((4 t^2 + 1)^(3 // 2))

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(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = ( t 2 ,s e nt - tc o st ,cos ⁡ t + ts e nt ) ,t0
Encontre a curvatura de r t = ( t ,t 2 ,t 3 ) no ponto (1, 1, 1).
Determine a curvatura de r t = ( e t cos ⁡ t ,e t s e nt ,t ) no ponto (1, 0, 0)
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = 1 3 t 3 ,t 2 ,2 t
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t = t i + t j + cos ⁡ t k