Enunciado

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = ( t 2 ,   s e n   t - t   c o s   t ,   cos ⁡ t + t   s e n   t ) ,                   t > 0

Passo 1

O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r ' t = ( 2 t ,   c o s t - cos ⁡ t + t   s e n t , -   s e n   t + s e n   t + t c o s   t )

r ' t = ( 2 t ,   t   s e n   t , t c o s   t )

O módulo do vetor tangente, calculado acima, é:

r ' t = 4 t 2 + t 2 s e n 2 t + t 2 cos 2 ⁡ t

r ' t = 4 t 2 + t 2 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t )

r ' t = 4 t 2 + t 2

r ' t = 5 t

Passo 2

O vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

T t = 1 5 t ( 2 t ,   t   s e n   t , t c o s   t )

T t = 1 5 ( 2 ,   s e n   t , c o s   t )

Calculado o vetor unitário T ( t ) podemos obter sua derivada:

T ' t = 1 5 ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

O módulo de T ' t deve ser calculado. Temos:

T ' t = 1 5 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

T ' t = 1 5 1

T ' t = 1 5

Passo 3

Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário

N t = T ' t T ' t

Temos

N t = 1 1 5 1 5 ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

N t = ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

Passo 4

O raio de curvatura é dado por

k t = T ' t r ' t

k t = 1 5 5 t

k t = 1 5 t

Resposta

T t = 1 5 ( 2 ,   s e n   t , c o s   t )

    N t = ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

k t = 1 5 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva o enunciado aqui.
Determine o comprimento da curva dada. r t = cos ⁡ t i + sin ⁡ t j + ln ⁡ cos ⁡ tk 0 ≤ t ≤ π 4
Determine o comprimento da curva dada. r t =i + t 2 j + t 3 k 0 ≤ t ≤ 1
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t =sin ⁡ t ,3 , cos ⁡ t
As fórmulas seguintes, chamadas formulas de Frenet-Serret, são de fundamental importância em geometria diferencial: d T → d s = κ N → d N → d s = - κ T → + τ B → d B → d s = - τ N → A fórmula 1 vem do