Enunciado

Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.

S é o quadrado limitado pelas reatas u = 0 , u = 1 , v = 0 , v = 1 ;

x = v ,         y = u 1 + v 2

Passo 1

A transformação mapeia o limite de S para o limite da imagem R .

Então primeiro vamos olhar para o lado S 1 no plano u v . S 1 é descrito por v = 0   0 ≤ u ≤ 1 , e das equações dadas temos:

x = v = 0

y = u 1 + v 2 = u

Ficamos então com:

x = v = 0 ,           0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

S 2 é o segmento de reta u = 1   0 ≤ v ≤ 1 , então:

x = v

y = 1 1 + v 2 = 1 + v 2

Então isolando u e substituindo na segunda:

y = 1 + v 2 = 1 + x 2               0 ≤ x ≤ 1

Passo 3

S 3 é o segmento de reta v = 1 ,   0 ≤ u ≤ 1 , então:

x = v = 1

y = u 1 + v 2 = u 1 + 1 2 = 2 u

Vamos ficar com:

x = 1             0 ≤ y ≤ 2

Passo 4

E por ultimo, S 4 é o segmento u = 0 ,   0 ≤ v ≤ 1 , então ficamos com:

x = v

y = u 1 + v 2 = 0

E ficamos com:

y = 0             0 ≤ x ≤ 1

Passo 5

Agora podemos montar a imagem do conjunto S , que é a região R mostrada no plano x y , um paralelogramo delimitado por esses quatro segmentos.

Resposta

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Determine o jacobiano da transformação x = 5 u - v ,y = u + 3 v
Determine o jacobiano da transformação. x = u + 4 v , y = 3 u - 2 v
Determine o jacobiano da transformação. x = u 2 - v 2 , y = u 2 + v 2
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u