Enunciado

Para que valores de x a função f é contínua?

f x = 0                     s e   x   é   r a c i o n a l 1             s e   x   é   i r r a c i o n a l

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema foi dada a função f definida por partes onde

f x = 0                     s e   x   é   r a c i o n a l 1             s e   x   é   i r r a c i o n a l

E nosso objetivo é obter os valores de x na qual a função f é contínua.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para isso, iremos utilizar a definição de limite por ε e δ .

A definição precisa de limite nos diz que seja uma função f definida em algum intervalo aberto que contenha um número a , temos

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo ε > 0 houver um número δ > 0 de modo que

0 < x - a < δ

Então, temos

f x - L < ε

Bora começar! 😁

Passo 2

Para qualquer número a e δ > 0 , temos no intervalo ( a - δ ,   a + δ ) infinitos números racionais e irracionais.

Se f a = 0 ou f a = 1 , existem infinitos números x com

0 < x - a < δ   e f x - f ( a ) = 1 .

Dessa forma, não existe um valor de δ que seja pequeno o suficiente para que o limite exista.

lim x → a ⁡ f ( x ) ≠ f ( a )

E assim, nossa função f ( x ) não é contínua em nenhum ponto.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😐

Resposta

Nenhum valor de x faz a função f ( x ) contínua, pois

lim x → a ⁡ f ( x ) ≠ f ( a )

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