Enunciado

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( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal.

f x = a r c t g   x = 1 - x  

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos provar que a equação apresentada possui pelo menos uma raiz real e depois encontrar graficamente essa raiz. Para isso, iremos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Nossa função f ( x ) é uma função polinomial com uma a r c t g , que é contínua em todos os pontos. Dessa forma, nossa função é contínua para qualquer intervalo a nossa escolha. Considerando o intervalo ( 0 ,   1 ) , iremos substituir os valores do intervalo na nossa função

Passo 2

f x = a r c t g ( x ) + x - 1 = 0

Aplicando x = 0

f 0 = a r c t g 0 + 0 - 1 = - 1 < 0

Aplicando x = 1

f 1 = a r c t g 1 + 1 - 1 = 0.7854 > 0

Como - 1 < 0 < 0.7854 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 0 ,   100 ) há um número c tal que f c = 0 .Assim, nossa função possui uma raiz dentro desse intervalo como queremos provar.

Passo 3

Nossa função possui o seguinte gráfico

Aproximando a imagem da raiz, podemos ver que com três casas de precisão a raiz está em x = 0.520 .

Resposta

A raiz da função se encontra em x = 0.520 .

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