Enunciado

Para quais valores de c o polinômio P x = x 4 + c x 3 + x 2 tem dois pontos de inflexão? E um ponto de inflexão? E nenhum? Ilustre, fazendo o gráfico de P para vários valores de c . Como o gráfico varia quando c decresce?

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

P x = x 4 + c x 3 + x 2

Onde c é uma constante.

Queremos encontrar os valores de c para os quais a função P x tenha dois pontos de inflexão.

Mas o que são esses pontos??

Os pontos de inflexão são aqueles em que há troca de sinais da derivada.

Também queremos encontrar os valores de c para um e nenhum ponto de inflexão.

Depois temos que plotar o gráfico de P x para diferentes valores de c e analisar o seu decrescimento.

Passo 2

Vamos achar a segunda derivada de f para achar os pontos de inflexão:

P x = x 4 + c x 3 + x 2

Fazendo a primeira derivada:

P ' x = x 4 + c x 3 + x 2 '

P ' x = 4 x 4 - 1 + 3 c x 3 - 1 + 2 x 2 - 1

P ' x = 4 x 3 + 3 c x 2 + 2 x

Fazendo a segunda derivada:

P ' ' x = 4 x 3 + 3 c x 2 + 2 x '

P ' ' x = 4.3 . x 3 - 1 + 3.2 c . x 2 - 1 + 2 x 1 - 1

P ' ' x = 12 x 2 + 6 c x + 2

Passo 3

Vemos que o gráfico de P ' ' x é uma parábola, assim tem duas raízes, assim muda de sinal duas vezes, tendo dois pontos de inflexão.

E isso acontece quando o delta de P ' ' ( x ) é positivo, assim:

b 2 - 4 a c = 6 c 2 - 4.12.2 > 0 ↔ 36 c 2 > 96 ↔ c > 2 6 3

Temos agora que se:

36 c 2 = 96 ↔ c = ± 2 6 3

Aqui temos que P ' ' ( x ) é 0 em um ponto, mas não há ponto de inflexão, já que P ' ' x nunca muda de sinal.

E por último:

36 c 2 < 96 ↔ c < 2 6 3

Aqui P ' ' ( x ) nunca troca de sinal, assim não há ponto de inflexão.

Passo 4

Aqui temos a ilustra��ão, fazendo o gráfico de P para vários valores de c :

Passo 5

Para positivos muitos grandes de c , o gráfico de f tem dois pontos de inflexão e um grande mergulho a esquerda no eixo y .

A medida que c decresce, o gráfico de f se torna mais plano para x < 0 , e eventualmente o mergulho sobe acima do eixo x e então desaparece totalmente, junto com os pontos de inflexão.

Enquanto c continua a decrescer, os pontos de mergulho e os pontos d einfelxão reaparecem, a direita da origem.

Resposta

Dois pontos de inflexão para c > 2 6 3 , nenhum valor de c para um ponto, e c = ± 2 6 3 e c < 2 6 3 para nenhum ponto de inflexão.

A medida que c decresce, o gráfico de f se torna mais plano para x < 0 , e eventualmente o mergulho sobe acima do eixo x e então desaparece totalmente, junto com os pontos de inflexão. Enquanto c continua a decrescer, os pontos de mergulho e os pontos d einfelxão reaparecem, a direita da origem.

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