Enunciado

(a) Use a Equação 1 para determinar uma representação em série de potências para f x = ln ⁡ ( 1 - x ) . Qual é o raio de convergência? (b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f x = x ln ⁡ ( 1 - x ) . (c) Ao colocar x = 1 2 no seu resultado da parte (a), expresse ln 2 como a soma de uma série infinita.

Passo 1

A equação 1 é:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 2

a) Se integrarmos ambos os lados de 1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … , obtemos:

∫ 1 1 - x d x = ∫ 1 + x + x 2 + …   d x

- ln ⁡ ( 1 - x ) = x + x 2 2 + x 3 3 + … + C

Se fizermos x = 0 veremos que C = 0 .

Então:

ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Desta forma podemos escrever f ( x ) na representação de série de potência da seguinte forma:

f x = ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Calculando o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) n   = lim n → ∞ ⁡ n ( 1 + 1 / n   ) n   = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = 1

Passo 3

b)Nos sabemos quanto vale a representação da série de potência quando f x = l n ⁡ ( 1 - x ) sendo assim se multiplicarmos f x por x basta passarmos o x para dentro do somatório ficando com:

f x = x  ln ⁡ 1 - x = - x ∑ n = 1 ∞ x n n = - ∑ n = 1 ∞ x ∙ x n n = - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n

Passo 4

c) Se x = 1 / 2 temos:

f 1 2 = ln ⁡ 1 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

f 1 2 = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

Resposta

a) f x = ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Raio de convergência: R = 1

b) f x = x ln ⁡ 1 - x = - x = - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n

c)

ln ⁡ 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

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