(a) Use a Equação 1 para determinar uma representação em série de potências para . Qual é o raio de convergência?
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para .
(c) Ao colocar no seu resultado da parte (a), expresse como a soma de uma série infinita.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado quer que a gente determine uma representação em série de potências para e seu raio de convergência, uma série de potências para e que a gente expresse como a soma de uma série infinita, fazendo .
A equação 1 que a questão nos diz é a primeira que aparece na seção 9 do livro. Essa daqui, ó:
Que é uma série geométrica. Seu raio de convergência é , ou seja, ela converge para (pode ser demonstrado usando o teste da razão).
A partir dessa equação, nós vamos integrar e analisar cada caso para determinar as séries de potências pedidas.
Vamos lá!
Passo 2
a) Vamos começar determinando uma série de potência para a função e depois descobrir o raio de convergência.
Se integrarmos ambos os lados de , vamos ter:
Sabendo que , teremos:
Para encontrar a constante de integração , avaliamos em :
Logo,
Então, nossa equação fica:
Desta forma podemos escrever na representação de série de potência da seguinte forma:
Passo 3
Calculando o raio de convergência (usando Teste da Razão), teremos:
Fazendo a divisão de frações:
Simplificando:
Como tende a zero, temos:
Então, pelo teste da razão a série converge se , porque a desigualdade define o raio de convergência . Nesse caso, o centro é . Portanto, o raio de convergência é .
Passo 4
b) Agora queremos encontrar uma série de potências para a função utilizando o que temos no item (a).
Nós sabemos quanto vale a representação da série de potência quando . Sendo assim, se multiplicarmos por , basta passarmos ele para dentro do somatório e ficamos com:
Logo,
Passo 5
c) Agora queremos usar no resultado da parte (a), e depois expressar como a soma de uma série infinita.
Na parte (a), temos:
Fazendo , vamos ter:
Sabendo que e que , temos:
Simplificando:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)
c)