(a) Use a Equação 1 para determinar uma representação em série de potências para f(x) = ln(1 - x) . Qual é o raio de convergência?

(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f(x) = x \* ln(1 - x) .

(c) Ao colocar x = 1 / 2 no seu resultado da parte (a), expresse ln 2 como a soma de uma série infinita.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente determine uma representação em série de potências para f x = ln ⁡ ( 1 - x ) e seu raio de convergência, uma série de potências para f x = x ln ⁡ ( 1 - x ) e que a gente expresse ln ⁡ 2 como a soma de uma série infinita, fazendo x = 1 2 .

A equação 1 que a questão nos diz é a primeira que aparece na seção 9 do livro. Essa daqui, ó:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Que é uma série geométrica. Seu raio de convergência é R = 1 , ou seja, ela converge para x < 1 (pode ser demonstrado usando o teste da razão).

A partir dessa equação, nós vamos integrar e analisar cada caso para determinar as séries de potências pedidas.

Vamos lá!

Passo 2

a) Vamos começar determinando uma série de potência para a função f x = ln ⁡ ( 1 - x ) e depois descobrir o raio de convergência.

Se integrarmos ambos os lados de 1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … , vamos ter:

∫ 1 1 - x d x = ∫ 1 + x + x 2 + …   d x

Sabendo que ∫ 1 1 - x d x = - ln ⁡ 1 - x + C , teremos:

- ln ⁡ ( 1 - x ) = x + x 2 2 + x 3 3 + … + C

Para encontrar a constante de integração C , avaliamos em x = 0 :

- ln ⁡ 1 = 0 + C

Logo,

0 = 0 + C

C = 0

Então, nossa equação fica:

ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Desta forma podemos escrever f ( x ) na representação de série de potência da seguinte forma:

f x = ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

Passo 3

Calculando o raio de convergência (usando Teste da Razão), teremos:

L = lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 x n n

Fazendo a divisão de frações:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ⋅ n x n

lim n → ∞ ⁡ x n ⋅ x n + 1 ⋅ n x n

Simplificando:

x lim n → ∞ ⁡ n n + 1  

x lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n    

Como 1 ∞ tende a zero, temos:

x 1 1 + 0

= 1 ⋅ x

Então, pelo teste da razão a série converge se x < 1 , porque a desigualdade x - a < R define o raio de convergência R . Nesse caso, o centro é a = 0 . Portanto, o raio de convergência é R = 1 .

Passo 4

b) Agora queremos encontrar uma série de potências para a função f x = x ln ⁡ ( 1 - x ) utilizando o que temos no item (a).

Nós sabemos quanto vale a representação da série de potência quando f x = l n ⁡ ( 1 - x ) . Sendo assim, se multiplicarmos f x por x , basta passarmos ele para dentro do somatório e ficamos com:

f x = x ⋅ ln ⁡ 1 - x

- x ∑ n = 1 ∞ x n n

= - ∑ n = 1 ∞ x ∙ x n n

Logo,

f x = - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n

Passo 5

c) Agora queremos usar x = 1 2 no resultado da parte (a), e depois expressar ln ⁡ 2 como a soma de uma série infinita.

Na parte (a), temos:

f x = ln ⁡ 1 - x = - ��� n = 1 ∞ x n n

Fazendo x = 1 2 , vamos ter:

f 1 2 = ln ⁡ 1 - 1 2 = - �� n = 1 ∞ 1 / 2 n n

Sabendo que ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ ( 2 ) e que ln ⁡ 1 = 0 , temos:

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

- ln ⁡ 2 = - ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n

Simplificando:

ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) f x = ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n

R = 1

b) f x = - ∑ n = 1 ∞ x n + 1 n

c)

ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados