Enunciado

Resolva no conjunto dos números reais a equação

sen 2 x = 1 - cos 2 x

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos utilizar a equação dada e a equação da relação fundamental da trigonometria. Iremos começar substituindo essas funções trigonométricas por variáveis para ajudar na visualização e não nos perdemos. Após isso, encontrada a solução precisamos lembrar de voltar aos termos iniciais da questão.

Abaixo temos o ciclo trigonométrico para ajudar na visualização.

Simbora!

Passo 2

sen 2 x = 1 - cos 2 x

sen 2 x + cos 2 x = 1

Vamos substituir o seno e o cosseno por duas variáveis.

Adotando: {[[u = sen 2 x],[v = cos 2 x]])

Lembrando que a relação fundamental da trigonometria é dada por:

sen^2 theta + cos^2 theta = 1

Então,

{[[sen 2 x + cos 2 x = 1],[sen^2 x + cos^2 x = 1]])

Utilizando nossa substituição:

{[[u + v = 1],[u^2 + v^2 = 1]])

Isolando v na 1ª equação e substituindo-o na 2ª equação, temos:

u^2 + (1 - u)^2 = 1

u^2 + 1 - 2 u + u^2 = 1

2 u^2 - 2 u = 0

Simplificando por 2 a equação e colocando u em evidência:

u (u - 1) = 0

Assim, temos dois valores de u que fazem essa igualdade ser verdadeira. São eles: {[[u = 0],[u = 1]])

Então, a solução engloba essas duas situações.

Para u = 0 , o valor de v será:

u + v = 1 -> v = 1 - u = 1 - 0 = 1

v = 1

Para u = 1 , o valor de v será:

u + v = 1 -> v = 1 - u = 1 - 1 = 0

v = 0

Passo 3

Beleza, agora precisamos voltar a incógnita inicial do problema. Lembrando que: {[[u = sen 2 x],[v = cos 2 x]])

Para a 1ª situação: {[[u = 0],[v = 1]] -> {[[sin 2 x = 0],[cos 2 x = 1]])) -> x = k pi

Para a 2ª situação: {[[u = 1],[v = 0]] -> {[[sin 2 x = 1],[cos 2 x = 0]])) -> x = (pi)/(4) + k pi

Agora sim, terminamos a questão. Uhuuull!

Resposta

x = k pi ; x = (pi)/(4) + k pi

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