Resolva as seguintes equações para x pertence R :

a) sen^4(x) + cos^4(x) = 5/8

b) sen^6 x + cos^6 x = 5/8

c) sen^4(x) + cos^4(x) = 1/2

d) sen^6(x/2) + cos^6(x/2) = 7 / 16

e) sen^3(x) + cos^3(x) = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos relembrar algumas informações importante.

É necessário lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

E da relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Simbora! Fazer a questão!

Passo 2

Na letra D temos outro tipo de equação. Vamos usar o mesmo método da letra B pra resolvê-la.

sen 6 ⁡ x 2 + cos 6 ⁡ x 2 =   7 / 16

De acordo com a teoria encontrada no livro:

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 4 ⁡ x - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 4 ⁡ x - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 ∙ sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   ( sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x ) - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

Lembrando da letra A, onde descobrimos um termo equivalente a soma da quarta potência do seno e cosseno.

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 - sen 2 ⁡ 2 x 2 - sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

Para substituir esse produto quadrado de seno e cosseno iremos utilizar mesma lógica desenvolvida na letra A.

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 - sen 2 ⁡ 2 x 2 - sen 2 ⁡ 2 x 4

sen 6 ⁡ x + cos 6 ⁡ x =   1 - 3 ∙ sen 2 ⁡ 2 x 4

Onde x é um ângulo qualquer.

Beleza, agora vamos substituir na equação da letra D.

Passo 3

sen 6 ⁡ x 2 + cos 6 ⁡ x 2 =   7 / 16

  1 - 3 ∙ sen 2 ⁡ x 4 = 7 16

3 ∙ sen 2 ⁡ x 4 = 1 - 7 16

3 ∙ sen 2 ⁡ x 4 = 16 - 7 16

sen 2 ⁡ x = 9 12

sen ⁡ x = ± 3 2

Então, temos duas possibilidades:

Primeira para um seno positivo.

sen ⁡ x = + 3 2

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 60 graus.

sen ⁡ x = + 3 2 → x = π 3 + k π

Segunda para um seno negativo.

sen ⁡ x = - 3 2

sen ⁡ x = - 3 2 → x = 2 π 3 + k π

E aí? Prontos pra letra E?

Resposta

a )   x = π 3 + k π ; x = 2 π 3 + k π

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