Enunciado

Vamos discutir, nesse problema, o erro de truncamento global associado ao método de Euler para o problema de valor inicial y′ = f(t, y), y(t0) = y0. Supondo que as funções f e fy são contínuas em uma região R fechada e limitada do plano ty que inclui o ponto (t0, y0), pode-se mostrar que existe uma constante L tal que |f(t, y) – f(t, ỹ |

Mostre que (1 + hL)^n ≤ e^(nhL); portanto,

Se selecionarmos um ponto final T maior do que t0 e depois escolhermos um tamanho de passo h de modo que sejam necessários n passos para percorrer o intervalo [t0, T], então nh = T – t0 e que é a Eq. (25). Note que K depende do comprimento T – t0 do intervalo e das constantes L e β que são determinadas a partir da função f.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, vamos trabalhar com o erro associado ao truncamento das soluções do método de Euler. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução com o truncamento local.

ϕ t n + 1 = ϕ t n + h f t n ,   ϕ t n + 1 2 ϕ ' ' t n h 2

y n + 1 = y n + h f n

E n = ϕ t n - y n

E n + 1   = ϕ t n + 1 - y n + 1  

Ao substituirmos e agruparmos os termos, temos:

E n + 1   ≤ E n + h f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n + 1 2 ϕ ' ' t n h 2    

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n < L ϕ t n - y n

f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n < L   E n

E n ≤ β h 2 α n - 1 α - 1

α = 1 + h L

β = 1 2 ϕ ' ' t n

lim ⁡ 1 + 1 α x n = e α x

E n ≤ β h e n h L - 1 L

n h = T - t O

β e | T - t o | L - 1 L = K

E n ≤ K h

Resposta

E n ≤ K h

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