Enunciado

Vamosmostrar, nesse problema, que os autovalores de uma matriz autoadjunta A sãoreais. Seja x um autovetor associado ao autovalor λ.

(a) Mostre que ( A x ,   x )   =   ( x ,   A x ) . Sugestão: Veja o Problema 26(c).

(b) Mostre que λ ( x ,   x )   = λ - ( x , x ) . Sugestão: Lembre que A x = λ x .

(c) Mostre que λ = λ - , ou seja, o autovalor λ é real.

Passo 1

(a) Como A é uma matriz hermitiana, temos pelo problema 26 (c) que ( A x ,   y ) = ( x ,   A y ) para quaisquer vetores x e y . Tomando x = y , temos que ( A x ,   x )   =   ( x ,   A x ) para qualquer vetor x .

Passo 2

(b) Fazendo de x um vetor próprio correspondente ao autovalor λ , temos que ( A x ,   x ) = ( λ x ,   x )   = λ ( x ,   x ) e ( x ,   A x ) = ( x ,   λ x )   = λ - ( x ,   x ) . Com base no intem (a) temos que λ x ,   x = λ - ( x ,   x ) .

Passo 3

(c) Dado que x é um autovetor de A , quando x ≠ 0 que nos dá que ( x ,   x )   ≠ 0 . Como temos pelo item (b), temos que λ - = λ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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