Enunciado

Sejam

x 1 = e t t e t

x 2 = 1 t

Mostre que x 1 e x 2 são linearmente dependentes em cada ponto do intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . Apesar disso, mostre que x 1 e x 2 são linearmente independentes em 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Dados os vetores:

x 1 = e t t e t

x 2 = 1 t

Dois vetores x 1 e x 2 são linearmente dependentes se existirem constantes a e b (dos quais pelo menos um seja diferente de zero), de modo que:

a x 1 + b x 2 = 0

Escolha um valor t 0 no intervalo 0 ≤     t 0 ≤   1 .

a x 1 ( t 0 ) + b x 2 ( t 0 ) = a e t 0 t 0 e t 0 + b 1 t 0

Os valores possíveis para a e   b são: a   =   1 e b   =   - e t (que é constante para um valor específico t 0 ).

Assim, os dois vetores são linearmente dependentes em cada ponto do intervalo   0 ≤ t ≤ 1 .

Em geral, porém, observamos que, se:

a x 1 + b x 2 = 0

Então não existe uma constante diferente de zero aeb que torne a constat verdadeira (porque e t não é uma constante).

Assim, os dois vetores são linearmente independentes

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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