Enunciado

Se vazar óleo de um taque a uma taxa de r t galões por minuto em um instante t , o que ∫ 0 120 r t d t representa?

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema foi dito que r t é uma função que representa a taxa de vazamento de óleo de um tanque.

A partir daí queremos saber o que ∫ 0 120 r t d t representa.

Tem alguma ideia? 🤔

Vamos lá, se r t é a taxa de vazamento de óleo de um taque, vamos achar uma expressão de r t ligada ao volume do óleo no tempo t :

r t = - V ' t

Pronto, temos então que a taxa de vazamento é igual ao negativo da derivada do volume, a gente precisa do sinal negativo por que o volume vai diminuindo. Vamos substituir isso na integral dada na questão:

∫ 0 120 r t d t = ∫ 0 120 - V ' t d t = - ∫ 0 120 V ' t d t

Saca só! 😁

Passo 2

Agora vamos usar o Teorema da Variação Total:

∫ a b F ' x d x = F b - F a

Então agora podemos aplicar:

- ∫ 0 120 V ' t d t = - V 120 - V 0 = V 0 - V 120

Pronto, no fim, essa integral representa o número de galões de óleo vazados do tanque nas primeiras duas horas ( 120 minutos).

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 0 120 r t d t representa o número de galões de óleo vazados do tanque nas primeiras duas horas ( 120 minutos).

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