Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 63
A densidade linear de uma barra de comprimento m é dada por medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra. Ache a massa total da barra.
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos diz que uma barra tem metros de comprimento e que sua densidade linear é dada prla seguinte função:
Onde é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
Queremos encontrar a massa total de uma barra.
Vamos lá... sabemos que a densidade é igual a derivada da massa, assim, para achar a massa devemos integrar a densidade:
E usar os limites de integração de a , que é o comprimento da barra:
Passo 2
Dessa forma, temos:
Passo 3
Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:
Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:
Passo 4
Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Ficamos então com:
Resposta
A massa total da barra é kg.