Enunciado

A densidade linear de uma barra de comprimento 4 m é dada por ρ x = 9 + 2 x medida em quilogramas por metro, em que x é medido em metros a partir de uma extremidade da barra. Ache a massa total da barra.

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos diz que uma barra tem 4 metros de comprimento e que sua densidade linear é dada prla seguinte função:

ρ x = 9 + 2 x

Onde x é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.

Queremos encontrar a massa total de uma barra.

Vamos lá... sabemos que a densidade é igual a derivada da massa, assim, para achar a massa devemos integrar a densidade:

ρ x = m ' x

E usar os limites de integração de 0 a 4 , que é o comprimento da barra:

m = ∫ 0 4 ρ x d x

Passo 2

Dessa forma, temos:

m = ∫ 0 4 9 + 2 x   d x

m = ∫ 0 4 9 + 2 x 1 2   d x

m = ∫ 0 4 9   d x + ∫ 0 4 2 x 1 2   d x

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 9   d x + ∫ 2 x 1 2   d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ 9   d x = 9 x + C

∫ 2 x 1 2 x = 2 ∫ x 1 2   d x = 2 ∙ x 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 x 3 2 3 2 = 4 x 3 2 3 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

m = ∫ 0 4 9   d x + ∫ 0 4 2 x 1 2   d x

m = 9 x 0 4 + 4 x 3 2 3 0 4

m = 9.4 - 9.0 + 4 . 4 3 2 3 - 4 . 0 3 2 3

m = 36 + 32 3

m = 140 3

Resposta

A massa total da barra é 140 3 kg.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.59- ∫ 0 1 3 x e xd x
∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 . cos ⁡ 2 x d x
Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x³.
Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto de todos (x, y) tais que x0 e 1 x 2 ≤ y ≤ 5 - 4 x ² ².
Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:A é o conjunto do plano compreendido entre o eixo 0x e o gráfico de y = x 2 - x , com 0 ≤ x ≤ 2 .