Enunciado

É verdade que o valor médio de uma função integrável em um intervalo de comprimento 2 é a metade da integral da função ao longo do intervalo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Sim.

O Teorema do Valor Médio diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x

E por definição, temos que a integral definida é dada por:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim, podemos reescrever o valor médio da seguinte maneira:

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x = f ' b - f ' a b - a  

Em um intervalo de comprimento 2, temos que b - a = 2 , logo :

f ' b - f ' a b - a =   f ' b - f ' a 2

Ou seja, o valor médio de uma função integrável em um intervalo de comprimento 2 é a metade da integral da função ao longo do intervalo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor médio da função no intervalo especificado. g x = 3 ⋅ cos ⁡ x , - π 2 , - π 2
Encontre o valor médio da função no intervalo especificado. f x = 3 x 2 + 8 x , - 1,2
Encontre o valor médio da função no intervalo especificado. f x = x , 0,4
Encontre o valor médio da função no intervalo dado. f t = t e - t ² ,[ 0,5 ] ²
Uma barra horizontal está localizada sobre o eixo dos x , como mostra a Figura 8.105.Se a densidade linear num ponto qualquer da barra é proporcional à distância desse ponto até a origem, determinar o