Enunciado

Verificar que a curva

vec r (t) = t c o s (t) vec i + t s e n (t) vec j + t vec k , t >= 0

Está sobre um cone.

Passo 1

A ideia nessa questão será eliminar o termo t e verificar que chegamos na equação de um cone. Vem comigo! A curva que ele nos deu foi a seguinte:

vec r (t) = t c o s (t) vec i + t s e n (t) vec j + t vec k , t >= 0

Analisando a equação acima conseguimos montar o seguinte sistema:

{[[x = t c o s (t)],[y = t s e n (t)],[z = t]])

Passo 2

Da primeira equação do sistema:

cos (t) = (x)/(t)

E da segunda equação:

s e n (t) = (y)/(t)

Opa, mas lá da trigonometria a gente temos uma formula que relaciona o seno e o cosseno. Olha só:

s e n^2 (t) + cos^2 (t) = 1

Substituindo o que achamos:

((x)/(t))^2 + ((y)/(t))^2 = 1

Logo,

x^2 + y^2 = t^2

Lembra que eu disse que a ideia era eliminar o t ? Então vamos usar da terceira equação do sistema que z = t . Assim,

x^2 + y^2 = z^2

O que é exatamente a equação de um cone. Logo, a curva está sobre um cone.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 1 + cos ⁡ t ,1 + sen ⁡ t ,2 t , t ∈ 0,4 π
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = t - 1 ,t 2 - 2 t + 1 , t ∈ - 1,2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 1 - s e n t ,1 - cos ⁡ t , t ∈ 0,2 π