Verificar que a curva

r(t) = t cos(t) i + t sen(t) j + t k, t >= 0

Está sobre um cone.

Passo 1

A ideia nessa questão será eliminar o termo t e verificar que chegamos na equação de um cone. Vem comigo! A curva que ele nos deu foi a seguinte:

r → t = t c o s t   i → + t s e n t j → + t   k → ,     t ≥ 0

Analisando a equação acima conseguimos montar o seguinte sistema:

x = t c o s t y = t s e n t z = t

Passo 2

Da primeira equação do sistema:

cos ⁡ t = x t

E da segunda equação:

s e n t = y t

Opa, mas lá da trigonometria a gente temos uma formula que relaciona o seno e o cosseno. Olha só:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Substituindo o que achamos:

x t 2 + y t 2 = 1

Logo,

x 2 + y 2 = t 2

Lembra que eu disse que a ideia era eliminar o t ? Então vamos usar da terceira equação do sistema que z = t . Assim,

x 2 + y 2 = z 2

O que é exatamente a equação de um cone. Logo, a curva está sobre um cone.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados