Enunciado

Verificar que a curva:

r → t = 3 cosh ⁡ t i → + 5 s e n h   t   j →

É a metade de uma hipérbole. Encontrar a equação cartesiana.

Passo 1

Então galera, a curva que nos foi dada é uma função vetorial, então já está parametrizada em termos de t . No entanto, como é vetorial, então possui componentes em x e em y , certo? Pela curva que nos foi dada, temos que a parametrização é:

x = 3 . cosh ⁡ t

y = 5 . sinh ⁡ t

Até aqui tudo certo, não é? OK! A estratégia que vamos utilizar para determinar a equação cartesiana da curva será: como x e y estão escritos em termos de seno e cosseno hiperbólico, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria hiperbólico para escrever tudo em uma expressão só, tudo bem? A relação é:

- sinh 2 ⁡ t + cosh 2 ⁡ t = 1

Sabendo disso, então bora pra cima agora!

Passo 2

Se elevarmos x ao quadrado, teremos:

x 2 = 9 . cosh 2 ⁡ t

Se elevarmos y ao quadrado, teremos:

y 2 = 25 . sinh 2 ⁡ t

Multiplicando a primeira equação por 25 e a segunda equação por 9 , teremos:

25 x 2 = 225 . cosh 2 ⁡ t

9 y 2 = 225 . sinh 2 ⁡ t

Substituindo na relação fundamental da trigonometria hiperbólico, teremos:

- sinh 2 ⁡ t + cosh 2 ⁡ t = 1

- 9 y 2 225 + 25 x 2 225 = 1

25 x 2 - 9 y 2 = 225

x 2 9 - y 2 25 = 1

Pela equação que encontramos, fica claro concluir que se trata de uma hipérbole! Agora nos resta provar que se trata da METADE de uma hipérbole.

Passo 3

Então pessoal, assim como sabemos, temos que cosh ⁡ t ≥ 1 , certo? Em termos de componente, ou seja, utilizando a parametrização, temos que:

x = 3 . cosh ⁡ t

Sendo assim, pela definição acima, teremos:

x = 3 . cosh ⁡ t ≥ 3

Sabendo que uma hipérbole é simétrica em relação ao eixo y , como temos uma restrição para a função, isso implica que teremos apenas uma parte da hipérbole, assim como mostrado no gráfico abaixo:

E está aí nossa demonstração! 😉

Resposta

Equação cartesiana: x 2 9 - y 2 25 = 1

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Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P x ,y , quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:d) x = t + 1 ,y = t 2 + 4 ,z
Determinar uma representação paramétrica da reta representada por:b) 2 x - 5 y + 4 z = 1 ,3 x - 2 y - 5 z = 1
Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:n) x 2 + y 2 + z 2 = 2 y ,z = y
Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las. Esboçar o seu gráfico.a) 2 x 2 + 2 y 2 + 5 x + 2 y - 3 = 0