Enunciado

Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

q → s = a cos ⁡ s c ,   a   s e n s c ,   b s c ,   c 2 = a 2 + b 2

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função r → ( s ) é:

q → s = a cos ⁡ s c ,   a   s e n s c ,   b s c

Derivando,

q ' → s = - a c s e n s c , a c cos ⁡ s c , b c

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

q ' → s 2 = - a c s e n s c 2 + a c cos ⁡ s c 2 + b c 2

Desenvolvendo,

q ' → s 2 = a 2 c 2 s e n 2 s c + a 2 c 2 cos 2 ⁡ s c + b 2 c 2  

Nos dois primeiros termos a gente tem a relação fundamental da trigonometria!

q ' → s 2 = a 2 c 2 + b 2 c 2  

Como ele disse, a 2 + b 2 = c 2 , então:

q ' → s 2 = c 2 c 2 = 1

q ' → s = 1

Beleza, como o módulo é unitário, então essa função está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Está parametrizada pelo comprimento de arco.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r → t = s e n t ,c o s t ,t ≥ 0
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r → s = 4 cos ⁡ s 4 ,4 s e n s 4 ,s ∈ 0 ,8 π
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r → s = s 7 ,6 7 s ,s ≥ 0
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r → s = ln ⁡ ( s + 1 ) i → + s 3 3 + s 2 j → ,s ≥ 0