Enunciado

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,   y tende ao ponto indicado:

b) f x ,   y = x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 ;   P ( 0 ,   1 )

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   1 ) pela reta y = x + 1 . Logo:

lim x → 0 y = x + 1 ⁡ x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 = lim x → 0 y = x + 1 ⁡ x 2 x + 1 - 1 2 x 4 + x + 1 - 1 4 = lim x → 0 y = x + 1 ⁡ x 4 2 x 4 = lim x → 0 y = x + 1 ⁡ 1 2 = 1 2

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

lim x = 0 y → 1 ⁡ x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 = lim x = 0 y → 1 ⁡ 0 y - 1 2 0 + y - 1 4 = lim y → 1 ⁡ 0 y - 1 4 = lim y → 1 ⁡ 0 = 0

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:a) lim x → 2 y → 3 ⁡ x 2 y - 3 x 2 - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 x y - 3 x - 2 y + 6
Calcular os limites seguintes:e) lim x → - 2 y → 1 ⁡ x y 2 - 5 x + 8 x 2 + y 2 + 4 x y
Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:d) lim x → 1 y → 1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1
Calcular os limites seguintes:n) lim x → 1 y → 2 ⁡ y x 3 - y x 2 - y x + y + 2 x 3 - 2 x 2 - 2 x + 2 x - 1 2 ( y + 2 )
Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um δ 0 tal que, para todo (x, y), x 2 + y 2δ ⇒ f x , y - f 0,0ϵ f x , y = x 2 + y