Enunciado

8) Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1.

t g   x ≈ x

Passo 1

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Para isso vamos derivar f ( x ) :

f ' x = sec 2 ⁡ x

Então, L ( x ) em a é:

L x = t g   a + sec 2 ⁡ x ( x - a )

L x = 0 + 1 x - 0

L x = x

Logo, a linearização está correta.

Passo 2

Para uma precisão de 0,1 , o valor estimado, está numa faixa de ± 0,1 do valor real, ou seja:

f x - 0,1 < L x < f x + 0,1

t g   x - 0,1 < x < t g   x + 0,1

t g   x - 0,1 - x < x - x < t g   x + 0,1 - x

t g   x - 0,1 - x t g   x + 0,1 - x < 0 t g   x + 0,1 - x < t g   x + 0,1 - x t g   x + 0,1 - x

t g   x - 0,1 - x t g   x + 0,1 - x < 0 < 1

t g   x - 0,1 - x t g   x + 0,1 - x < 0

t g   x - 0,1 - x t g   x + 0,1 - x < 0

- 0,63 < x < 0,63

Resposta

L x = x

- 0,63 < x < 0,63

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3) Encontre a linearização L ( x ) da função em a . f x = cos ⁡ x , a = π / 2
1) Encontre a linearização L ( x ) da função em a . f x = x 3 , a = 1
2) Encontre a linearização L ( x ) da função em a . f x = ln ⁡ x , a = 1
6) Encontre a aproximação linear da função g x =1 + x 3 em a = 0 e use-a para aproximar os números 0,95 3 e 1,1 3 . Ilustre fazendo os gráficos de g e da reta tangente
5) Encontre a aproximação linear da função f x = 1 - x em a = 0 e use-a para aproximar os números 0,9 e 0,99 . Ilustre fazendo os gráficas de f e da reta tangente.