Enunciado

  1. Verifique que 1 + x 2 - x = 1 x + 1 + x 2 . Conclua que à medida que | x | cresce a diferença 1 + x 2 - | x | se aproxima de zero.
  2. Esboce o gráfico de y = 1 + x 2

Passo 1

a) Humm vamos ver, primeiro temos que provar que 1 + x 2 - x = 1 x + 1 + x 2 né?

Vamos fazer isso mexendo no lado esquerdo da função e começar multiplicando 1 + x 2 - x pelo seu conjugado em cima e embaixo ok?

Lembrando que o conjugado de 1 + x 2 - x é 1 + x 2 + x .

Multiplicando,

1 + x 2 - x . 1 + x 2 + x 1 + x 2 + x = 1 x + 1 + x 2

Aplicando o nosso querido “chuveirinho”, a propriedade distributiva hehe:

1 + x 2 2 - x 2 1 + x 2 + x = 1 x + 1 + x 2

Ajeitando, ficamos com,

1 + x 2 - x 2 1 + x 2 + x = 1 x + 1 + x 2

No numerador temos x 2 - x ² , então, simplificando, temos

1 1 + x 2 + x = 1 x + 1 + x 2

Uhuuu, então provamos que 1 + x 2 - x = 1 x + 1 + x 2 :P

Passo 2

Agora vamos provar que à medida que | x | cresce, a diferença 1 + x 2 - | x | se aproxima de zero.

Acabamos de provar que

1 + x 2 - x = 1 x + 1 + x 2

Quando | x | vai crescendo, o denominador de 1 x + 1 + x 2 vai ficando cada vez maior né?

Agora mano, pensa comigo, vamos pensar nas seguintes divisões:

1 2 = 0 , 5

1 4 = 0 , 25

1 5 = 0 , 2

Reparou que conforme a gente vai aumentando o denominador, o resultado da divisão vai diminuindo?

É isso que vamos analisar aqui, temos

1 + x 2 - x = 1 x + 1 + x 2

Quando vamos aumentando o denominador x + 1 + x 2 (já que | x | está crescendo), estamos diminuindo o resultado da divisão, que é 1 + x 2 - x .

Portanto, realmente, conforme | x | cresce, o 1 + x 2 - x diminui ;)

Passo 3

b) Agora vamos esboçar o gráfico da função y = 1 + x 2 . Vamos ver primeiro onde a função cruza o eixo x e depois ver onde cruza o eixo y .

A função cruza o eixo x nos pontos onde y = 0 . Calculando,

0 = 1 + x 2

x 2 = - 1

Opa, não tem solução pra x 2 = - 1 né? Não tem como um número ao quadrado resultar em um valor negativo hehe Então, essa função não corta o eixo x .

Agora vamos ver se ela corta o eixo y , substituindo x = 0 :

y = 1 + 0 2 = 1

Então sabemos que ( 0,1 ) pertence ao gráfico.

Passo 4

Agora a estratégia será substituir valores arbitrários poistivos e negativos.

Vamos encontrar alguns pontos pertencentes a esse gráfico para aí podermos plotar:

Se x = - 2 → y = 1 + - 2 2 = 5

Se x = - 1 → y = 1 + - 1 2 = 2

Se x = 2 → y = 1 + 2 2 = 5

Se x = 1 → y = 1 + 1 2 = 2

Usando um programa de geração gráfica temos a curva em vermelho:

Galera, ainda vamos ver isso melhor, mas já vamos observando que o gráfico acima nunca encosta na função y = | x | (representada em azul)

Resposta

a) Demonstração

b)

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