Enunciado

Verifique, por derivação, que a formula está correta

∫ cos 3 ⁡ x d x = sin ⁡ x - 1 3 sin 3 ⁡ x + C

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos verificar, através da derivação, se a seguinte expressão está correta:

∫ cos 3 ⁡ x d x = sin ⁡ x - 1 3 sin 3 ⁡ x + C

Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!

Passo 2

Seja f x = sin ⁡ x - 1 3 sin 3 ⁡ ( x ) + C , derivando, ficamos com

f ' x = cos ⁡ x - 1 3 ⋅ 3 sin 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ∴

f ' x = cos ⁡ x - sin 2 ⁡ x c o s ⁡ ( x )   ∴

f ' x = cos ⁡ x ⋅ ( 1 - sin 2 ⁡ x )   ∴

f ' x = cos ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x ∴

f ' x = cos 3 ⁡ ( x ) ∴

Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado!!

Não se esqueça que a derivada de uma constante é zero. 😉

Resposta

Demonstração

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