Verifique a fórmula de integração:

∫ x   s e c h - 1 x   d x = x 2 2 sech - 1 ⁡ x - 1 2 1 - x 2 + C

Passo 1

Vamos usar a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Façamos u = sech - 1 ⁡ x e d v = x   d x .

Teremos d u =   - 1 x 1 - x 2   d x e v = x 2 2 .

Vamos montar então...

Passo 2

∫ x   s e c h - 1 x   d x = x 2 2 sech - 1 ⁡ x - ∫ ( - 1 x 1 - x 2 x 2 2 d x )  

Simplificando...

x 2 2 sech - 1 ⁡ x + 1 2 ∫ x 1 - x 2 d x   ( * )

Vamos resolver essa última integral por substituição:

u = 1 - x 2 → d u = - 2 x   d x → x d x =   - d u 2

- 1 2 ∫ d u u d x =   - 1 2 - 2 u = - u + C

Agora a gente volta pra variável x e pra integral (*):

x 2 2 sech - 1 ⁡ x + 1 2 - 1 - x 2 + C

x 2 2 sech - 1 ⁡ x - 1 2 1 - x 2 + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados