Enunciado

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  1. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
  2. Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
  3. Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.

f x = 1 - x ; [ - 1 ,   1 ]

Passo 1

Como f é a junção de uma função constante com uma modular, é preciso observar o comportamento do módulo em cada intervalo de x para poder esboçar o gráfico da função. Vamos atribuir alguns valores para x e observar o comportamento de f .

Se   x = - 1   então f x = 1 + x e:

f - 1 = 1 - 1 = 0

Se   x = - 0,5   então f x = 1 + x e:

f - 0 , 5 = 1 - 0,5 = 0,5

Se   x = 0   então f x = 1 - x e:

f 0,5 = 1 - 0 = 1

Se   x = 0,5   então f x = 1 - x e:

f 0,5 = 1 - 0,5 = 0,5

Se   x = 1   então f x = 1 - x e:

f 1 = 1 - 1 = 0

Fazendo o esboço de f ( x ) no intervalo - 1 , 1 temos:

Passo 2

Observe que se - 1 ≤ x < 0 temos f x = 1 + x , que é uma função polinomial. Logo f é contínua em [ - 1,0 ) . E se 0 < x ≤ 1 , temos f x = 1 - x , que é uma função polinomial. Logo f é contínua em ( 0 , 1 ] . Precisamos verificar sua continuidade quando x = 0 . Assim:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ 1 + x = 1 + 0 = 1

lim x → 0 ∓ ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ 1 - x = 1 - 0 = 1

Como lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 ∓ ⁡ f x = f ( 0 ) , temos que f é contínua em x = 0 . Portanto, a função f é contínua em - 1 , 1 .

Como 1 + x e 1 - x são funções polinomiais, então f é derivável em ( - 1 ,   0 ) e ( 0 ,   1 ) . Precisamos verificar quando x = 0 . Assim, da definição de derivada:

f + ' 0 = lim x → 0 ∓ ⁡ f x - f 0 x - 0 ⇒

f + ' 0 = lim x → 0 ∓ ⁡ 1 - x - 1 x ⇒

f + ' 0 = lim x → 0 ∓ ⁡ - x x ⇒

f + ' 0 = lim x → 0 ∓ ⁡ - 1 ⇒

f + ' 0 = - 1

E também:

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0 ⇒

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ 1 + x - 1 x ⇒

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ x x ⇒

f - ' 0 = lim x → 0 - ⁡ 1 ⇒

f - ' 0 = 1

Como f + ' 0 ≠ f - ' 0 , temos que f não é derivável em x = 0 . Portanto, f não é derivável em ( - 1 ,   1 ) .

Observe que f - 1 = f 1 = 0 .

Resposta

Portanto, f só satisfaz duas das três condições do teorema de Rolle, logo não é possível aplicá-lo.

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