Enunciado

Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio:

f x = e - 2 x ,   [ 0,3 ]

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos testar se a função dada satisfaz as hipóteses do TVM dentro do intervalo que nos foi dado.

O TVM pode ser aplicado a uma função f ( x ) no intervalo [ a , b ] se:

  1. f é continua em a , b
  2. f é diferenciavel em ( a , b )

Passo 2

f é contínua em R , então é contínua em [ 0,3 ] e derivável em ( 0,3 ) .

Derivando:

f ' c = - 2 e - 2 c

Deveremos encontrar todos os valores c , tal que:

f ' c = f b - f a b - a

- 2 e - 2 c = f 3 - f 0 3 - 0 = e - 6 - e 0 3

e - 2 c = 1 - e - 6 6

- 2 c = ln ⁡ ( 1 - e - 6 6 )    

c = - 1 2 ln ⁡ ( 1 - e - 6 6 ) ≈ 0.897  

c ≈ 0.897 que satisfaz a conclusão pois está no intervalo ( 0,3 ) .

Resposta

A função satisfaz às hipóteses do Teorema do Valor Médio e o número c que satisfaz à conclusão é c ≈ 0.897 .

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