Enunciado

Verifique que a função u = 1 / x 2 + y 2 + z 2 é uma solução da equação de Laplace tridimensional u x x + u y y + u z z = 0 .

Passo 1

Show de bola, galera. Para provarmos que a função u é solução da equação diferencial proposta, precisaremos calcular primeiro as derivadas parciais de 2ª ordem u x x ,     u y y ,     u z z . Partiu?

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2 = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

u x x = ∂ u x ∂ x = ∂ ∂ x - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = - x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Expressãozinha meio feia, né? Mas vamos deixa-la desse jeito por enquanto...

u y = ∂ u ∂ y = ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2 = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

u y y = ∂ u y ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = - x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Novamente uma expressãozinha meio feia, né? Mas vamos deixa-la desse jeito por enquanto...

u z = ∂ u ∂ z = ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2 = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

u z z = ∂ u z ∂ z = ∂ ∂ z - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = - x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Ufa!!! Acabou....Agora vamos colocar essas expressões malucas na equação de Laplace.

Passo 2

Bom....Antes de sairmos colocando aquelas expressões na equação de Laplace, vamos só usar uma substituição para simplificar as contas, beleza? Vamos fazer o seguinte:

x 2 + y 2 + z 2 = V

Beleza? Então partiu....

u x x + u y y + u z z = - V 3 2 + 3 x 2 V 1 2 V 3 + - V 3 2 + 3 y 2 V 1 2 V 3 + - V 3 2 + 3 z 2 V 1 2 V 3

u x x + u y y + u z z = - 3 V 3 2 + 3 V 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⏞ O l h a   o   n o s s o   V   a q u i ‼ ! V 3 = - 3 V 3 2 + 3 V 1 2 ∙ V V 3 = - 3 V 3 2 + 3 V 3 2 V 3 = 0

Opa! Chegamos à conclusão do que o enunciado nos pediu! Acabmos de ver que u = 1 / x 2 + y 2 + z 2 é solução da equação u x x + u y y + u z z = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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