Enunciado

Mostre que o comprimento total da elipse x = a   s e n θ ,   y = b   c o s   θ ,       a > b > 0 , é

L = 4 a   ∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 θ   d θ

onde e é a excentricidade da elipse ( e = c a , com c = a 2 - b 2 )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá as seguintes equações paramétricas que descrevem uma elipse:

x = a   s e n θ

  y = b   c o s   θ

Em que a > b > 0 .

Queremos demonstrar que o comprimento total L da elipse é dado por:

L = 4 a   ∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 θ   d θ

onde e é a excentricidade da elipse ( e = c a , com c = a 2 - b 2 ) .

Para provar isso, temos que saber que o comprimento de uma curva é:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Agora bora aplicar!!

Passo 2

Então vamos calcular primeiro as derivadas:

d x d t = a   s e n θ ' ∴

d x d t = a cos ⁡ θ

E

d y d t = b   c o s   θ ' ∴

d y d t = - b sen ⁡ θ

Passo 3

Vamos fazer agora d x d t 2 + d y d t 2 :

d x d t 2 + d y d t 2 = a cos ⁡ θ 2 + - b   s e n   θ 2 ∴

d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2 s e n 2 θ ∴

Sabemos que s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , portanto, substituindo cos 2 ⁡ θ :

d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 1 - s e n 2 θ + b 2 s e n 2 θ

Colocando s e n 2 θ em evidência:

d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 - a 2 - b 2 s e n 2 θ

Sabemos que c = a 2 - b 2 , portanto:

d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 - c 2 s e n 2 θ

Multiplicando a equação por a 2 a 2 , temos:

d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 1 - c 2 a 2 s e n 2 θ

Do enunciado, temos que e = c a , logo:

d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 ( 1 - e 2 s e n 2 θ )  

Note que, como estamos tratando de uma elipse (figura fechada), sabemos que a variação do θ é 0 < θ < 2 π .

Então

L =   ∫ 0 2 π a 2 ( 1 - e 2 s e n 2 θ )   d θ

Por simetria, podemos reescrever: L = 4 a   ∫ 0 π / 2 ( 1 - e 2 s e n 2 θ )   d θ , que era o que a questão nos pedia para demonstrar.

Resposta

Demonstração

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