Enunciado

(a) Verifique que a média das aproximações pela extremidade esquerda e pela extremidade direita dadas na Tabela 7.7.1 dá a Fórmula (2) da aproximação trapezoidal.

(b) Suponha que f seja uma função contínua e não negativa no intervalo [ a ,   b ] e subdivida [ a ,   b ] em pontos igualmente espaçados a   =   x 0   <   x 1   <   ·   ·   ·   <   x n   =   b . Encontre a área do trapézio sob o segmento de reta que liga os pontos ( x k ,   f ( x k ) )   e   ( x k + 1 ,   f ( x k + 1 ) ) e acima do intervalo [ x k ,   x k + 1 ] . Mostre que o lado direito da Fórmula (2) é a soma dessas áreas de trapézios (Figura 7.7.1).

Passo 1

(a) Primeiro, vamos lembrar das fórmulinhas de aproximação pela extremidade esquerda e pela direita:

Pela esquerda:

S E = b - a n y 0 + y 1 + … + y n - 1

Pela direita:

S D = b - a n y 1 + y 2 + … + y n

Precisamos provar que a média entre essas duas fórmulas dá:

S T = b - a 2 n [ y 0 + 2 y 1 + … + 2 y n - 1 + y n ]

Vem comigo!

Passo 2

Vamos calcular então:

S T = S E + S D 2

Substituindo as fórmulas:

S T = b - a n y 0 + y 1 + … + y n - 1 + b - a n y 1 + y 2 + … + y n 2

Colocando o termo b - a 2 n em evidência e somando os termos de y com índices iguais:

S T = b - a 2 n [ y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n ]

E essa é, realmente, a fórmula (2) da aproximação trapezoidal. Conseguimos!

Passo 3

(b) Queremos a área desse trapézio:

Só lembrarmos da fórmulinha de área do trapézio:

A T = b a s e   m a i o r + b a s e   m e n o r ⋅ a l t u r a 2

Olhando para a figura, vemos que nossa base maior tem y k de tamanho, enquanto a base menor vale y k + 1 e a altura do nosso trapézio é ( x k + 1 - x k ) . A área fica assim, então:

A k = y k + y k + 1 x k + 1 - x k 2  

Passo 4

Precisamos provar que a soma dessas áreas que estão dentro do intervalo [ a , b ] , é igual ao lado direito da fórmula da aproximação trapezoidal.

Se a gente somar essas áreas de k = 0 até k = n - 1 , ficamos com:

A T = ∑ k = 0 n - 1 y k + y k + 1 x k + 1 - x k 2

Podemos reescrever o tamanho do subintervalo como:

x k + 1 - x k = b - a n ∴ x k + 1 - x k 2 = b - a 2 n

Substituindo no somatório:

A T = ∑ k = 0 n - 1 y k + y k + 1 b - a 2 n = b - a 2 n ∑ k = 0 n - 1 y k + y k + 1

Passo 5

Calculando esse somatório a gente chega em:

A T = b - a 2 n y 0 + 2 y 1 + … + 2 y n - 1 + 2 y n

Que é exatamente o lado direito da fórmula da aproximação trapezoidal.

Resposta

(a) Prova nos passos

(b) Prova nos passos

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