Enunciado

(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.

(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = tan 2 ⁡ θ ,       y = sec ⁡ θ ,     - π 2 < θ < π 2

Passo 1

Okay, vamos lá resolver isso aí juntos!

O enunciado nos disse que, no intervalo - π 2 < θ < π 2 , temos:

x = tan 2 ⁡ θ

E

y = sec ⁡ θ

Queremos eliminar o parâmetro θ para encontrarmos uma equação cartesiana do tipo y x .

Para isso, vamos usar uma relação trigonométrica para criarmos nossa equação cartesiana, olha só:

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Em seguida, devemos esboçar a curva da função que a gente encontrar e indicar com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Lembrando que o enunciado nos disse que x = tan 2 ⁡ θ e y = sec ⁡ θ .

Da relação trigonométrica apresentada no passo 1, temos:

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Assim, substituindo as variáveis do enunciado na relação, obtemos:

1 + x = y 2

Isolando y :

y = 1 + x

Passo 3

Cara, vamos lá pra parte do gráfico agora.

Vamos analisar o intervalo que nos foi dado. Vamos quebrar ele em duas partes:

- π 2 < θ < 0                   e                   0 < θ < π 2

Veja bem, quando x , y → - π 2 , teremos que ambos tenderão para o infinito positivo.

Já para o outro extremo, x , y → π 2 também tendem pro infinito positivo.

Mas observe, quando x , y → 0 , teremos que x irá tender a zero e y irá tender a 1 , se observarmos os gráficos de tan 2 ⁡ θ   e sec ⁡ θ fica fácil essa visualização.

Assim, podemos dizer que:

y = sec ⁡ θ ≥ 1

x = tan 2 ⁡ θ ≥ 0

Daí, nosso domínio do plano cartesiano será x ≥ 0 .

Passo 4

Assim, plotando o gráfico de y = 1 + x e aplicando o que vimos no passo 3, temos:

Quando temos o parâmetro indo de - π 2 < θ < 0 , vamos ter a x , y saindo do infinito positivo para 0 e 1 , respectivamente, ou seja, decrescendo.

Já quando temos o parâmetro indo de 0 < θ < π 2 , teremos x , y saindo de 0 e 1 , e indo novamente para o infinito positivo, ou seja, crescendo.

Resposta

y = 1 + x

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