Verifique que, para todo natural n ≥ 2 ,

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

Passo 1

Primeiro vamos dizer que:

sin n ⁡ x = sin n - 1 ⁡ x × sin ⁡ x

Sabendo disso podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sin n - 1 ⁡ x × sin ⁡ x d x

Agora podemos usar a integração por partes e dizer que:

u = sin n - 1 ⁡ x → d u = n - 1 sin n - 2 ⁡ x cos ⁡ x d x   e   v = - cos ⁡ x → d v = sin ⁡ x d x

Aplicando a integração por partes, temos:

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = sin n - 1 ⁡ x × - cos ⁡ x - ∫ - cos 2 ⁡ x n - 1 sin n - 2 ⁡ x d x π 2 0

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ 1 - sin 2 ⁡ x sin n - 2 ⁡ x d x π 2 0

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x - n - 1 ∫ sin n ⁡ x d x π 2 0

Passo 2

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo ∫ sin n ⁡ x d x :

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x - n - 1 ∫ sin n ⁡ x d x π 2 0 =

Assim podemos passar para o outro lado somando:

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x + n - 1 ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x π 2 0

n - 1 + 1 ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x π 2 0

n ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x π 2 0

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = 1 n - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x π 2 0 =

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - 1 n sin n - 2 ⁡ x cos ⁡ x π 2 0 + n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

Passo 3

Agora vamos resolver essa parte da integral usando o teorema fundamental:

- 1 n sin n - 2 ⁡ x cos ⁡ x π 2 0

Só aplica cada limite de integração a função:

- 1 n sin n - 2 ⁡ π 2 cos ⁡ π 2 - sin n - 2 ⁡ 0 cos ⁡ 0 =

= - 1 n sin ⁡ π 2 n - 2 cos ⁡ π 2 - sin  0 n - 2 ⁡ cos ⁡ 0 =

= - 1 n 1 n - 2 × 0 - 0 n - 2 × ⁡ 1 = 0

Assim, se substituirmos na integral teremos:

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = - 1 n sin n - 2 ⁡ x cos ⁡ x π 2 0 + n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = 0 + n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados