A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Verifique que, para todo natural n != 0, tem-se:

a ) ∫ sen n ⁡ x d x = - 1 n sen n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ sen n - 2 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos imaginar o seguinte para essa equação:

Se sabemos que d cos ⁡ x d x = - si n ⁡ x podemos reescrever a integral dessa maneira:

∫ s in n ⁡ x d x = ∫ si n n - 1 ⁡ x × si n ⁡ x d x

Passo 2

E usar a integração por partes assim:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chegaremos em:

u = sin n - 1 ⁡ x → d u = n - 1 sin n - 2 ⁡ x × cos ⁡ x d x   e   v = - cos ⁡ x → d v = sin ⁡ x d x

Assim:

∫ sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x - ∫ - n - 1 sin n - 2 ⁡ x cos 2 x ⁡ x d x =

= - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x 1 - sin 2 ⁡ x d x =

= - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x - sin n - 2 + 2 ⁡ x d x =

= - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x - sin n ⁡ x d x =

∫ sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x - n - 1 ∫ sin n ⁡ x d x =

Passo 3

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo ∫ sin n ⁡ x d x :

∫ sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x - n - 1 ∫ sin n ⁡ x d x =

Assim podemos passar para o outro lado somando:

∫ sin n ⁡ x d x + n - 1 ∫ sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x

n - 1 + 1 ∫ sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x

n ∫ sin n ⁡ x d x = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x

∫ sin n ⁡ x d x = 1 n - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 ∫ sin n - 2 ⁡ x d x =

∫ sin n ⁡ x d x = - 1 n sin n - 2 ⁡ x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ sin n - 2 ⁡ x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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