A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Verifique que, para todo natural n != 0, tem-se:

b ) ∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos imaginar o seguinte para essa equação:

Se sabemos que d sin ⁡ x d x = cos ⁡ x podemos reescrever a integral dessa maneira:

∫ cos n ⁡ x d x = ∫ cos n - 1 ⁡ x × cos ⁡ x d x

Passo 2

E usar a integração por partes assim:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chegaremos em:

u = cos n - 1 ⁡ x → d u = - n - 1 cos n - 2 ⁡ x × sin ⁡ x d x   e   v = sin ⁡ x → d v = cos ⁡ x d x

Assim:

∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x - ∫ - n - 1 cos n - 2 ⁡ x sin 2 x ⁡ x d x =

= cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x d x =

= cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x - cos n - 2 + 2 ⁡ x d x =

= cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x - cos n ⁡ x d x =

∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x d x - n - 1 ∫ cos n ⁡ x d x =

Passo 3

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo ∫ sin n ⁡ x d x :

∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x d x - n - 1 ∫ cos n ⁡ x d x =

Assim podemos passar para o outro lado somando:

∫ cos n ⁡ x d x + n - 1 ∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

n - 1 + 1 ∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

n ∫ cos n ⁡ x d x = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 ∫ cos n - 2 ⁡ x d x =

∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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