Calcule a integral.

∫ x ln ⁡ x x 2 - 1   d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, pois temos uma raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x 2 - 1 → u 2 = x 2 - 1 → x = u 2 + 1

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u =   2 x d x → x d x = u d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x ln ⁡ x x 2 - 1   d x = ∫ u ln ⁡ u 2 + 1 u   d u = ∫ ln ⁡ u 2 + 1   d u = ∫ ln ⁡ u 2 + 1 1 2   d u = ∫ 1 2 ln ⁡ u 2 + 1   d u = 1 2 ∫ ln ⁡ u 2 + 1   d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x   d x

Vamos fazer então f u = ln ⁡ u 2 + 1 e g ' u = d u :

f ' u = 2 u u 2 + 1 e g u = u

Vamos substituir agora:

1 2 ∫ ln ⁡ u 2 + 1   d u = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 u - 1 2 ∫ u ∙ 2 u u 2 + 1 d u = ln ⁡ u 2 + 1 u 2 - 1 2 ∫ 2 u 2 u 2 + 1 d u = ln ⁡ u 2 + 1 u 2 - ∫ 1 - 1 u 2 + 1 d u = ln ⁡ u 2 + 1 u 2 - ∫ 1 d u + ∫ 1 u 2 + 1 d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a tg - 1 ⁡ x a + C

Então ficamos com:

∫ ln ⁡ u 2 + 1   d u = ln ⁡ u 2 + 1 u - ∫ 1 d u + ∫ 1 u 2 + 1 d u = ln ⁡ u 2 + 1 u - u + 1 1 tg - 1 ⁡ u 1 + C = ln ⁡ u 2 + 1 u - u + tg - 1 ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x ln ⁡ x x 2 - 1   d x = 1 2 ∫ ln ⁡ u 2 + 1   d u = ln ⁡ u 2 + 1 u 2 - ∫ 1 d u + ∫ 1 u 2 + 1 d u = ln ⁡ u 2 + 1 u 2 - u + tg - 1 ⁡ u + C = ln ⁡ x 2 - 1 2 + 1 x 2 - 1 2 - x 2 - 1 + tg - 1 ⁡ x 2 - 1 + C = ln ⁡ x 2 x 2 - 1 2 - x 2 - 1 + tg - 1 ⁡ x 2 - 1 + C = 2 ln ⁡ x x 2 - 1 2 - x 2 - 1 + tg - 1 ⁡ x 2 - 1 + C = ln ⁡ x x 2 - 1 - x 2 - 1 + tg - 1 ⁡ x 2 - 1 + C

Resposta

∫ x ln ⁡ x x 2 - 1   d x = ln ⁡ x x 2 - 1 - x 2 - 1 + tg - 1 ⁡ x 2 - 1 + C

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