Enunciado

Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termos tendem a 0 . Mostre que

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n

também é uma série com essa propriedade.

Passo 1

Pra resolver essa questão, vamos ter que achar a fórmula da soma parcial, para calcular o limite, isso vai ser possível porque essa é uma série telescópica, veja só

a n = ln ⁡ 1 + 1 n

Fazendo MMC no argumento

a n = ln ⁡ n + 1 n

Aplicando a propriedade ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

a n = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

Passo 2

Olhando para a soma

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 2 + a n - 1 + a n

s n = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 + … + ln ⁡ n - 1 - ln ⁡ ( n - 2 ) + ln ⁡ n - ln ⁡ ( n - 1 ) + ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

Da pra ver que todos vão se cancelar entre somas e subtrações, menos - ln ⁡ 1 e ln ⁡ ( n + 1 ) , portanto nossa soma fica

s n = - ln ⁡ 1 + ln ⁡ ( n + 1 )

Como ln ⁡ 1 = 0

s n = ln ⁡ ( n + 1 )

Passo 3

Agora basta aplicar o limite

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ( n + 1 ) = + ∞

Como nosso limite deu infinito, a série diverge, assim como a série harmônica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termostendem a 0. Mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n também é uma série com essa propriedade.
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.27. 1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + …
Determinar se a série converge ou diverge, e se convergir achar a soma: ∑ n = 1 + ∞ 7 53 4 n
Prove que, se ∑ a n é uma série convergente de termos não negativos, então ∑ a n ² ² converge.
Suponha que a n0 e lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ . Prove que ∑ a n diverge.