Enunciado

Uma família de curvas tem equações polares

r = 1 - acos ⁡ θ 1 + a cos ⁡ θ

Investigue como o gráfico muda quando a varia. Em particular, você deveria identificar, plotando a curva com uma ferramenta gráfica, os valores de transição de a para os quais o formato básico da curva muda.

Passo 1

Vamos começar fazendo a = 0 . Nesse caso, temos

r = 1 - 0 1 + 0 = 1

Que nada mais é do que uma circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 2

Agora vamos fazer a variar, sendo a > 0 .

- a = 0 , 1 :

E percebemos que o gráfico deu uma andadinha para a esquerda.

- a = 0,3 :

Aconteceu que, além de andar mais ainda para a esquerda, o gráfico ainda deu uma achatadinha no lado direito.

- a = 0,4 :

Parece que surge um biquinho beeeeeeeem sutil alí do lado direito.

- a = 0,5 :

Já da pra ver um pouquinho melhor. É tipo uma ondulação na verdade.

Vamos aumentar um pouco mais o c .

- a = 0,8 :

Aí sim!! Se aumentarmos um pouco mais..

- a = 0,9 :

O que tá acontecendo é que a curva está se achatando horizontalmente, enquanto se desloca para a esquerda e o lado direito dela está fazendo um bico que está ficando cada vez mais pronunciado. Isto tudo enquanto a → 1 .

Quando a = 1 eis que:

O bico se pronuncia de vez e a curva se achata tanto que a escala do printscreen nem seria capaz de pegar.

Passo 3

Agora o que acontece quando a > 1 ?

- a = 2

A curva agora se divide em duas partes e o lado esquerdo tem um looping.

- a = 3 :

O looping da parte esquerda ficou maiorzinho e a parte direita ficou mais verticalizada, ao mesmo tempo que sua ponta esquerda fez um biquinho bem sutil. Pra confirmar isso, vamos aumentar um pouco o a .

- a = 5 :

Viu só o biquinho? Agora a gente até consegue ver que tá mais pra uma ondulação né?

Passo 4

E se a < 0 , o que que acontece?

Bom, nossa curva é

r = 1 - acos ⁡ θ 1 + a cos ⁡ θ

Se a < 0 , temos

r = 1 - ( - a ) cos ⁡ θ 1 + ( - a ) cos ⁡ θ = 1 + acos ⁡ θ 1 - a cos ⁡ θ = 1 - acos ⁡ ( θ + π ) 1 + a cos ⁡ ( θ + π )

O que significa que teremos o mesmo comportamento que observamos aqui, só que com uma rotação de π .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Trace a curva x = y - 2 sen ⁡ π y
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = - 2 sen ⁡ θ
18. Trace a parábola r = 4 / ( 5 + 6 cos ⁡ θ ) e sua diretriz. Também trace a curva obtida pela rotação dessa parábola ao redor de seu foco por um ângulo.
A ) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumentaB ) Elimine os parâmetros para encontrar uma equação
A ) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumentaB ) Elimine os parâmetros para encontrar uma equação