Enunciado

Você está para construir uma caixa aberta retangular com base quadrada e um volume de 48   p é s ³ . Se o material para o fundo custa $   6 / p é s ² e o material para os lados custa $   4 / p é s ² , que dimensões resultarão em uma caixa menos cara? Qual é o custo mínimo?

Passo 1

Para começarmos a pensar em uma caixa menos cara ou em custo mínimo, galera, precisamos determinar uma expressão do custo para a caixa. Segundo o enunciado, temos que o volume da caixa é 48   p é s ³ . Sendo assim, temos que:

V = x 2 . h

No qual h é a altura da caixa e x é a base da mesma. Continuando, temos:

x 2 . h = 48

h = 48 x 2

A área da base da caixa é dada por x ² , já a área dos lados da caixa é dada por 4 x h . Opa, pera aí! Por que aparece esse 4 multiplicando x h ? Como a caixa é aberta, galera, então ela possui 5 lados, certo? 1 desses lados é a base, então restão 4 lados, que são exatamente as laterais da caixa. Sendo assim, escrevendo uma expressão para o custo dessa caixa, teremos:

C x = 6 . x 2 + 4 . ( 4 x h )

C x = 6 x 2 + 16 x . 48 x 2 = 6 x 2 + 768 x

Passo 2

Agora que temos uma expressão para o custo da caixa, para descobrirmos em dimensões que deixem a caixa menos cara, assim como o custo mínimo, devemos derivar a função que temos e igualar a zero, saca só:

C ' x = 12 x - 768 x 2

12 x - 768 x 2 = 0   ⇒ 12 x = 768 x 2

x 3 = 64

∴ x = 4

Agora que encontramos um ponto candidato a mínimo (que é o que desejamos), precisamos conferir se x = 4 é, de fato, um mínimo! Para descobrirmos isso, uma das melhores maneiras é utilizar a derivada segunda. Caso o valor da derivada segunda nesse ponto dê positivo, então é um mínimo, mas se der negativo, então é um máximo. Botando esses conceitos em prática, teremos:

C ' ' x = 12 + 1536 x 3

C ' ' 4 = 12 + 1536 4 3 > 0

Como o valor deu maior que zero, então isso implica que x = 4 é um mínimo, de fato!

Passo 3

Agora que encontramos o ponto especial, basta substituirmos esse mesmo ponto na equação do custo que encontramos lááá no passo 1, saca só:

C 4 = 6 . 4 2 + 768 4 = $   288

As dimensões são:

x = 4   p é s

h = 48 4 ² = 3   p é s

Resposta

x = 4   p é s

h = 3   p é s

C m í n i m o = $   288

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