Enunciado

Ache o volume do maior cilindro circular reto que possa ser inscrito num cone circular com um raio de 4   c m e uma altura de 8   c m .

Passo 1

A questão pede para acharmos o cilindro de maior volume que pode ser inscrito num cone circular com raio 4   c m e altura 8   c m . Trata-se de um problema de máximos e mínimos. Desta forma, precisamos achar uma função que queremos maximizar.

Na figura a seguir temos um corte do cilindro de raio r e altura h inscrito no cone:

Por semelhança de triângulos, temos que

8 - h r = h 4 - r

Multiplicando em cruz:

r h = 8 - h 4 - r

Portanto,

r h = 32 - 8 r - 4 h + r h ⇒ 4 h = 32 - 8 r

Assim, temos que

h = 8 - 2 r

Usaremos essa relação para achar o volume do cilindro como função de r !

Passo 2

O volume de um cilindro com raio r e altura h é

V = π r 2 h

Mas vimos no passo 1 que h = 8 - 2 r . Substituindo essa relação:

V = π r 2 8 - 2 r = 2 π ( 4 r 2 - r 3 )

Assim, queremos achar r tal que a função f r = 4 r 2 - r 3 seja máxima no intervalo fechado [ 0 ,   4 ] , já que o raio do cilindro só pode variar entre esses valores.

Passo 3

Como f é contínua e o intervalo é fechado, o teorema do valor extremo garante que ela tem máximo e mínimo no intervalo e os candidatos a esses valores são os pontos críticos e os extremos do intervalo. Vamos achar primeiro os pontos críticos no interior do intervalo:

f ' r = 8 r - 3 r 2

Assim, fazendo f ' r = 0 , temos que

r   8 - 3 r = 0 ⇒ r = 0       o u         r = 8 3

Entre esses dois pontos, apenas r = 8 3 está no interior do intervalo ( r = 0 é extremo). Assim, os candidatos a máximo global de f são: r = 8 3 (ponto crítico), r = 0 e r = 4 (extremos do intervalo). Calculando o valor da função nesses pontos:

f 8 3 = 4 ⋅ 64 9 - 512 27 = 256 27

f 0 = f 4 = 0

Assim, o máximo de f ocorre em r = 8 / 3 e o mínimo em r = 0 ou r = 4 . Assim, 8 3   c m é o raio do maior cilindro que pode ser inscrito no cone.

O volume desse cilindro será

V = 2 π ⋅ f 8 3 = 512 π 27

Resposta

512 π 27

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