Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.2 - Ex. 34

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desse livro

A rigidez de uma viga retangular é conjuntamente proporcional à sua largura e ao cubo de sua profundidade. Ache as dimensões da viga mais rígida que possa ser cortada de uma tora na forma de um cilindro circular reto com a cm de raio.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos fazer uma coisa de cada vez, primeiro de tudo: dar nome aos bois.

x → Largura da viga.

y →   Profundidade da viga.

R x , y → Resistência da viga.

O enunciado diz que a resistência da viga é conjuntamente proporcional à sua largura e ao quadrado de sua profundidade, ou seja:

R x ,   y = x y 3

Perfeito, já temos uma equação para a resistência da viga! Agora precisamos usar algo a mais do enunciado para torar R uma função de apenas uma variável.

Passo 3

A questão diz que a viga deve ser cortada de uma tora na forma de cilindro circular reto com a cm de raio. Num desenho isso fica:

Desse triangulo retângulo que surgiu:

x 2 + y 2 = 2 a 2

Agora vamos isolar o y :

y 2 = 4 a 2 - x 2

Como y > 0 :

y = 4 a 2 - x 2

Agora podemos substituir isso em R e ficaremos somente com x como variável!

R x = x 4 a 2 - x 2 3

R x = x 4 a 2 - x 2 4 a 2 - x 2

R x = 4 a 2 x - x 3 4 a 2 - x 2

Agora temos a R bonitinha com uma variável só! Podemos derivar e encontrar seu ponto de máximo ;)

Passo 4

Derivando R pela regra do produto e pela regra da cadeia:

d R d x = 4 a 2 - 3 x 2 4 a 2 - x 2 + - 2 x 2 4 a 2 - x 2 4 a 2 x - x 3

d R d x = 4 a 2 4 a 2 - x 2 - 4 x 2 4 a 2 - x 2  

Passo 5

Agora precisamos igualar essa derivada a 0 :

4 a 2 4 a 2 - x 2 - 4 x 2 4 a 2 - x 2 = 0

4 a 2 4 a 2 - x 2 = 4 x 2 4 a 2 - x 2

Como temos essas duas raízes dos dois lados podemos dar uma simplificada monstra:

4 a 2 = 4 x 2

Ou seja:

x = a

Já temos o valor de x , agora vamos substituir esse valor em y ( x ) e teremos o valor de y .

Passo 6

Substituindo:

y = 4 a 2 - a 2

y = 3 a 2

y = 3 a

E acabou!

Resposta

A largura é a cm; a espessura é 3 a cm.

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