Enunciado

Você planeja estimar π 2 com cinco casas decimais usando o método de Newton para resolver a equação c o s   x   =   0 . O valor inicial faz diferença? Justifique sua resposta

Passo 1

Utilizando o método de Newton para aproximação de raízes da função f x = cos ⁡ x   , ou seja, queremos calcular cos ⁡ x = 0 e encontrarmos um valor aproximadamente igual a π 2 com uma precisão de 5 casas decimais. A pergunta a ser respondida é: o ponto inicial x 0 faz diferença?

Passo 2

De antemão já afirmo que sim, mas precisamos provar que isso é verdade. Precisamos lembrar que a função cos ⁡ x não foi definida em nenhum intervalo nesse problema, assim, teremos infinitos ângulos com os quais cos ⁡ x = 0 devido à sua periodicidade. Então, tomemos um valor inicial distante de π 2 como, por exemplo, x 0 = - 0.5 aplicando a fórmula de newton

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Poderemos perceber que nossa raiz se aproximara de x = - π / 2 e não do valor que desejamos. Ou seja, o valor inicial é importante pois se pegar um valor distante de x = π 2 nossas aproximações irão ficar mais próximas de outros valores para os quais cos ⁡ x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 3 - 4 x - 8 = 0 ; a raiz positiva
Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. 6 x 3 + 9 x + 1 = 0
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 - 10 x + 5 = 0 ; a maior raiz positiva