Resolva a equação diferencial:

x \* y' - y = 2x \* ln x

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por x , pois o coeficiente de d y d x deve ser 1.

y ' - 1 x y = 2 ln ⁡ x

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x = -   1 x ; f x = 2 ln ⁡ x

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ - 1 x d x =   e - ln ⁡ x = x - 1 =   1 x

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y ' 1 x +   1 x 2 y = 1 x 2 ln ⁡ x  

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x 1 x y = 1 x 2 ln ⁡ x  

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

1 x y = ∫ 1 x 2 ln ⁡ x   d x

1 x y = ln ⁡ x 2 + C

y = x l n   x 2 + C x

Resposta

y = x l n   x 2 + C x

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