Enunciado

Se você tentar utilizar a Fórmula 2 para determinar a área do topo superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , terá problemas, porque a integral dupla é impropria. De fato, o integrando tem uma descontinuidade infinita em todo ponto da fronteira circular x 2 + y 2 = a 2 . Entretanto, a integral pode ser calculada sobre o disco x 2 + y 2 ≤ t 2 com t → a - . Utilize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio a é 4 π a 2 .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Rescrevendo nossa f ( x , y ) , ficamos com

f x , y = z = a 2 - x 2 - y 2

Assim temos que

∂ z ∂ x = - x 2 2 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y 2 2 - x 2 - y 2

Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + x 2 a 2 - x 2 - y 2 + y 2 a 2 - x 2 - y 2 = a 2 a 2 -   r 2

Como é nosso círculo que define nossos limites, temos x 2 + y 2 = a 2 → r M a x = t →   a -

E que 0 ≤ θ ≤ 2 π

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 t a r a 2 - r 2 d r   d θ

Onde o jacobiano em coordenadas cilíndricas é r .

Fazendo u = 4 - r 2 → d u = 2 r   d r

Logo temos

A S = ∫ 0 2 π lim t → a - ⁡ - a a 2 - r 2 0 t d θ =   l i m t → a - - 2 π a a 2 - t 2 - a = 2 π a 2 .

Entrento devemos perceber que só foi valida essa resolução para toda a superfície acima do plano x y . Logo a área da esfera é dado por

= 2 ⋅ 2 π a 2 = 4 π a 2

Resposta

A S = 4 π  

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