Enunciado

A meia-vida do Césio-137 é de 30 anos. Suponha que tenhamos uma amostra de 100   m g .

a) Ache a massa que restará após t anos.

b) Quanta massa a amostra terá após 100 anos?

c) Depois de quanto tempo teremos apenas 1   m g da amostra?

Passo 1

Esse é um problema sobre decaimento radioativo! Sabemos que o decaimento radioativo é exponencial, do tipo

m t = m 0 e - k t

Já temos a massa inicial m 0 = 1 00 :

m t = 1 00   e - k t

Foi dado o tempo de meia-vida que representa o tempo para que a amostra caia pela metade. Assim, temos que

m 30 = m 0 2 = 1 00 2 = 5 0

Portanto,

5 0 = 1 00   e - 30 k

Logo,

e - 30 k = 1 2 ⇒ e 30 k = 2 ⇒ 30 k = ln ⁡ 2 ⇒ k = ln ⁡ 2 30 ≈ 0 , 023

Portanto,

m t = 1 00   e - 0 , 023 t

Passo 2

Após 100 anos, a massa será

m 10 0 = 1 00   e - 0 , 023   ⋅   10 0 = 1 00   e - 2,3

Assim,

m 10 0 = 1 0   m g

Passo 3

Para achar o tempo no qual a massa é 1   m g , fazemos

m t = 1 ⇒ 1 00 e - 0 , 023 t = 1 ⇒ e 0 , 023 t = 1 00

Logo,

0 , 023   t = ln ⁡ 1 00

Portanto,

t = 200   a n o s

Resposta

m t = 100   e - 0,023 t

m 100 = 10   m g

t = 200   a n o s

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