Enunciado

(Volume de Sólido de revolução em torno do eixo y). Suponha f Estritamente crescente e com derivada contínua em [ a ,   b ] , a ≥ 0   e   f a = 0 . Seja g : 0 , f b → a ,   b A função inversa de f .

  1. Verifique que o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto
  2. A = x ,   y ∈ R 2 | a ≤ x ≤ b ,   0 ≤ y ≤ f ( x )   é igual a π   b 2 f b - π ∫ 0 f ( b ) g y 2 d y

  3. Mostre que
  4. π b 2 f b - π ∫ 0 f b g y 2 d y = 2 π ∫ a b x f x d x

  5. Conclua que o volume mencionado em a é

V o l u m e = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 1

a)

A gente pode achar o volume de um sólido, “fatiando” ele em um cilindro com altura infinitesimal para facilitar a nossa integração. Vamos entender como isso funciona!

O volume de um cilindro é: π r 2 × h .

Agora vamos entender quem é r e h !

Como a rotação é no eixo y , tem que nesse eixo estará a nossa altura h , sendo ela infitesimal, e vamos chama-la de d y .

No eixo x , teremos uma circunferência maior de raio b e dentro dela uma circunferiência menor de raio r . Porém como estamos trabalhando com a altura d y consideramos a função que depende de y , no caso g ( y ) dará o tamanho do raio menor.

Então ficamos com,

V = π b 2 - g y 2 d y

Note que para o raio subtraímos o raio da circunferência de fora pelo da dentro.

A interal será um somatório de todos esses volumes temos:

∫ π b 2 - g y 2 d y

E os limites de integração para f x são [ a , b ] , já, como indicado no enunciado, para g ( y ) é [ 0 , f b ] , assim ficamos com:

∫ 0 f ( b ) π b 2 - g y 2 d y

Resolvendo, temos:

∫ 0 f ( b ) π b 2 - g y 2 d y = ∫ 0 f ( b ) π b 2 d y - ∫ 0 f ( b ) π g y 2 d y

Como π b 2 é uma constante, ficamso com:

π b 2 y f ( b ) 0 - ∫ 0 f b π g y 2 d y = π b 2 f ( b ) - π ∫ 0 f b g y 2 d y

Passo 2

b)

O volume de um cilindro pode ser escrito de duas maneiras:

V = ∑ i = 0 n 2 π r i × h i × l i = ∑ i = 0 n A C i r c u n f e r ê n c i a i × h i

O primeiro caso já foi explicado, já o segundo método é feito assim:

Avaliamos os cilindros como tendo espessura infinitesimal e altura paralela ao eixo de rotação, e a expressão que define o volume desse cilindro é:

V = 2 π r × A r e t â n g u l o = 2 π r × h × l

O h vai ser a altura do sólido de revolução, no nosso caso vai do eixo x até a função f ( x ) , então h = f x .

Já expessura é infinitesimal, ou seja, l vai ser dado por d x e o raio vai ser a distância do eixo de rotação até o ponto médio do d x (que é o próprio x), assim temos uma nova expressão:

V = 2 π r × A = 2 π r × h × l = 2 π x × f x × d x

Fazendo o somatório de todos os Cilindros dentro do limite de integração dado [a,b], teremos uma nova expressão:

V = ∫ a b 2 π x × f x × d x

Pronto V agora tem dois métodos de serem resolvidos com valores iguais. Com isso podemos afirmar que, dada as considerações do problema (Suponha f Estritamente crescente e com derivada contínua em [ a ,   b ] , a ≥ 0   e   f a = 0 . Seja g : 0 , f b → a ,   b A função inversa de f ), que:

V = ∫ a b 2 π x × f x × d x = π b 2 f ( b ) - π ∫ 0 f b g y 2 d y

Esse racicionio é similar ao anterior, sendo no que P a s s o   1 , a gente olha para altura como d y , e pelo P a s s o   2 , a gente olha para espessura como d x .

Passo 3

c)

Se você voltar no P a s s o   2 , vai que já mostramos que

V o l u m e = 2 π ∫ a b x f x d x

Pois lá mostramos que,

V = ∫ a b 2 π x f x d x

As duas integrais são equivalente, é só jogar o 2 π da segunda integral para fora que chegamos na primeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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