Equação exponencial e logarítmica

Teoria Completa

Expoentes e Raízes

Faaaaaala aí, chuchu! Hoje nós vamos ver esses tipos de equações, que na realidade, são as mesmas coisas, pois uma operação está intimamente (ui!) ligada a outra! Vamos começar vendo a primeira.

Antes de falar de equações exponenciais, vamos ver que o expoente é uma maneira de você representar uma multiplicação repetida. É um jeito de economizar esforço. Ao invés de escrevermos:

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Podemos escrever:

3 4

Pois o 3 está sendo multiplicado por si mesmo quatro vezes.

Dessa definição, temos as propriedades:

n 0 = 1

n - x = 1 n x

n x . n y = n x + y

n x n y = n x - y

n x y = n x y

n x y = n x / y

Por essa última fórmula, podemos perceber que as raízes são casos particulares de expoentes. Por exemplo, a raiz quadrada:

3 = 3 1 2

Outro exemplo é a raiz cúbica:

7 2 3 = 7 2 / 3

Ou também:

4 x = 4 1 x

Equações Exponenciais

O truque dessas questões é sempre o mesmo: você precisa colocar tudo na mesma base. Por exemplo, resolva:

3 x + 1 = 9

Colocar tudo na mesma base significa que, ou todas as bases vão ser 9, ou todas elas vão ser 3. Você que decide, tanto faz. Vamos fazer com o 3? Então partiu. Como temos que: 9 = 3 2

Fechou, temos tudo na mesma base:

3 x + 1 = 3 2

Podemos “cortar” a base e igualar os expoentes, que nada mais é do que pensar que o cara elevado a um número tem que ser igual ao cara elevado ao mesmo número, logo, eles precisam ser iguais:

x + 1 = 2

x = 1

Resolvido! Agora se quiséssemos que as bases fossem 9, faríamos: 3 = 9 = 9 1 2

Substituindo: 9 1 2 x + 1 = 9

Pelas propriedades de expoentes:

9 x + 1 2 = 9

Igualando os expoentes, lembrando que o expoente do 9 sozinho é o 1:

x + 1 2 = 1

x + 1 = 2

x = 1

Mesma resposta! Viu como dá para fazer dos dois jeitos? Você escolhe o que você preferir.

Número de Euler e a exponencial

Uma base muito comum, apesar de parecer inicialmente estranha, é a base com o número de Euler:

e 4 e 11 e x

O número de Euler (ou número neperiano) é extremamente importante é um número irracional como o nosso amigo π .

e ≈ 2.718

Existem diversas situações associadas ao número e e que serão discutidas mais para frente. Mas não fique com medo, trate-o como qualquer outro número!

O logaritmo

O logaritmo está intimamente ligado a exponencial. O log a seguir:

log 10 ⁡ 100

Remete a seguinte pergunta:

10 (base) elevado a qual número tem como resultado 100 ?

A resposta para essa pergunta é 2 , pois 10 2 = 100 . Portanto: log 10 ⁡ 100 = 2

Essa base 10 no log é bastante comum, de maneira que muitas vezes ela é ocultada, ficando somente:

log ⁡ 100 = 2

Quando você ver um log com base oculta, lembre-se que é base 10 . Outras bases estarão especificadas, como: log 2 ⁡ 4 log 3 ⁡ 9 log 4 ⁡ 16

O logaritmo natural

Assim como a base 10 , existe um outro logaritmo de base bem recorrente no estudo do log. Trata-se do log de base e , ou seja, o log com base igual ao número de Euler, como:

log e ⁡ 3

Poxa, escrever isso é bem feio, então usamos sempre outra notação quando a base é o e :

ln ⁡ 3

Onde o ln é o logaritmo natural, ou simplesmente o log de base e .

Propriedades do log

Temos diversas propriedades para o log que aparecem independente de sua base, são elas:

log b ⁡ 1 = 0

Já que b elevado a 0 é 1 , qualquer número elevado a zero é 1 . Qual número que elevado a b (base) tem como resultado 1 ? 0 .

log b ⁡ b = 1

Já que b elevado a 1 é b . Qual número que elevado a b (base) tem como resultado b ? 1 .

Além desses valores padrões, temos que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:

log b ⁡ x y = log b ⁡ x + log b ⁡ y

log 2 ⁡ 6 = l o g 2 3 + log 2 ⁡ 2

O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos:

log b ⁡ x / y = log b ⁡ x - log b ⁡ y

log 5 ⁡ 3 2 = log 5 ⁡ 3 - log 5 ⁡ 2

E temos também a regra do peteleco. Damos um peteleco no expoente para ele cair multiplicando o logaritmo:

log b ⁡ x k = k log b ⁡ x

log 6 ⁡ 36 = log 6 ⁡ 6 2 = 2 . log 6 ⁡ 6 = 2 . 1 = 2

Temos também a mudança de base:

log b ⁡ a = log c ⁡ a log c ⁡ b

Equação logarítmica

A partir disso tudo, podemos falar das equações logarítmicas. Para resolver, a ideia é colocar tudo na mesma base ou tentar cotar o log usando suas propriedades. Vamos ver como isso fica?

log 2 ⁡ x + 1 = 0

, mas qual como transformar esse zero num log de base 2 ? É simples, só lembrar das propriedades:

log b ⁡ 1 = 0

Então:

log 2 ⁡ 1 = 0

E podemos escrever:

log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ 1

Uma vez que está tudo na mesma base, podemos “cortar” o log:

log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ 1 ⟹ x + 1 = 1 ⟹ x = 0

Essa é a solução do problema: S = 0

Usamos o cortar com aspas, porque esta não é uma operação matemática rígida, trata-se de um atalho que tomamos para as situações propostas.

Podemos ter situações, onde aparece logs em base diferente, como: log 2 ⁡ x + 1 = log 4 ⁡   x + 1

Não dá para “cortar”, tem que estar tudo na mesma base antes. Aí, uma vez que o objetivo é colocar tudo na mesma base, usamos a propriedade de mudança de base para nos ajudar. Vamos colocar o log de base 4 na base 2 :

log 4 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1 log 2 ⁡ 4

Como log 2 ⁡ 4 = 2 , já que 2 2 = 4 ...

log 4 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1 2

Agora é só substituir a lindeza:

log 2 ⁡ x + 1 = log 4 x + 1 ⁡   ⟹ log 2 ⁡ x + 1 = 1 2 log 2 x + 1 ⁡  

Tudo tem que estar dentro do log para podermos “cortar”, então usamos a propriedade da potência para jogar a fração para dentro do log:

log b ⁡ x k = k log b ⁡ x ⟺ k log b ⁡ x = k log b ⁡ x

1 2 l o g 2 x + 1 = l o g 2 x + 1 1 / 2 = log 2 ⁡ x + 1

Assim:

log 2 ⁡ x + 1 = 1 2 log 2 x + 1 ⁡   ⟹ log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1

Podemos finalmente “cortar”:

log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1 ⟹ x + 1 = x + 1

Elevando os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz:

x + 1 2 = x + 1 ⟹ x 2 + 2 x + 1 = x + 1 ⟹ x 2 + x = 0 ⟹ x x + 1 = 0

Ou seja:

x = 0 x = - 1

Será?? Temos um problema aí!

Condições de existência

Veja que quando substituímos x = - 1 na equação: log 2 ⁡ x + 1 = log 4 ⁡   x + 1 ⟹ log 2 ⁡ - 1 + 1 = log 4 ⁡   - 1 + 1 = log 2 ⁡ 0 = log 4 ⁡ 0

Agora te perguntamos: 2 elevado a qual número dá zero? Da mesma maneira, 4 elevado a qual número dá zero? A verdade é que podemos chegar cada vez mais perto de zero, mas não chegaremos em zero para valores finitos. Dessa maneira, não existe log b ⁡ 0 para nenhuma base!

Isso significa que x = - 1 não é solução da equação, pois leva a log b ⁡ 0 :

S = 0

Já que x = 0 é o único valor válido. Além do log de zero não existir, também não há log de número negativo. Olhe novamente para a pergunta do log:

2 elevado a qual número dá negativo? 2 é uma base maior que zero, como toda base do log, por definição. Elevar 2 a alguma coisa é multiplicá-lo por ele mesmo algumas vezes. Não dá para multiplicar um número por ele mesmo e chegar num resultado negativo, dessa maneira, também não existe log de número negativo!

Quando chegarmos ao resultado da equação que surge ao cortamos o log, depois temos sempre que substituir seu valor para ver se não aparece um log de zero ou negativo. Se isso acontecer, esse valor não fará parte do conjunto solução do problema. Fique atento a isso!

log b ⁡ A , com b > 0 e b ≠ 1 , existe se e somente se:

A > 0

Bora para os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Resolva a equação exponencial 3 2 x + 4 = 81

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Precisamos tentar escrever tudo na mesma base. Vamos tentar deixar tudo na base 3 que é mais fácil. Veja que:

81 = 9 2

E:

9 = 3 2

Logo:

81 = 3 2 2 = 3 4

Substituindo, ficamos com:

3 2 x + 4 = 81 ⟹ 3 2 x + 4 = 3 4

Passo 2

Agora que está tudo na mesma base, consideramos somente os expoentes: 2 x + 4 = 4 ⟹ 2 x = 0 ⟹ x = 0

Portanto, a solução do problema é: x = 0

Veja como isso é verdade:

3 2 ⋅ 0 + 4 = 81 ⟹ 3 4 = 81 ⟹ 81 = 81

Resposta

x = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Resolva:

3 3 x - 2 ⋅ 27 x + 1 = 9 x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Novamente, temos que tentar deixar tudo na mesma base. Vamos fazer isso para 27 e 9 , deixando na base 3 . Temos que:

27 = 3 3

E: 9 = 3 2

Assim, substituindo:

3 3 x - 2 ⋅ 27 x + 1 = 9 x - 1 ⟹ 3 3 x - 2 ⋅ 27 x + 1 = 9 x - 1 ⟹ 3 3 x - 2 ⋅ 3 3 x + 1 = 3 2 x - 1

3 3 x - 2 ⋅ 3 3 x + 3 = 3 2 x - 2

Usando agora a propriedade onde: b a ⋅ b c = b a + c

3 3 x - 2 ⋅ 3 3 x + 3 = 3 2 x - 2 ⟹ 3 6 x + 1 = 3 2 x - 2

Passo 2

Uma vez que temos tudo na mesma base, basta igualar os exponentes:

6 x + 1 = 2 x - 2 ⟹ 4 x = - 3 ⟹ x = - 3 4

Pronto!

Resposta

x = - 3 4

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Conhecendo 3 x + 1 = 1 , resolva 1 9 x + 2 y = 25

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar a equação 3 x + 1 = 1

Podemos reescrevê-la da seguinte forma

3 x + 1 = 3 0

Logo, podemos determinar x , pois a equação está com as bases iguais, então:

x + 1 = 0

x = - 1

Passo 2

Beleza, agora podemos substituir x dentro da outra equação fazendo em primeiro lugar os ajustes necessários

1 9 x + 2 y = 25